Métodos Determinísticos II aprofunda o uso de modelos quantitativos para decisões gerenciais em que as relações essenciais são representadas por dados conhecidos. A disciplina parte da programação linear estudada no volume anterior e avança para situações que exigem decisões inteiras, escolhas do tipo sim ou não, redes, precedências, múltiplas metas, relações não lineares e decisões sequenciais. Em vez de perguntar apenas quanto produzir, passa a responder também quais instalações abrir, quais projetos selecionar, que rota utilizar, em que ordem executar tarefas e como distribuir recursos ao longo do tempo.

O caráter determinístico significa que os parâmetros utilizados no modelo são tratados como definidos para a análise. Demanda, custos, tempos e capacidades podem ter sido estimados, mas entram no cálculo como valores específicos. A pessoa administradora deve reconhecer que essa é uma simplificação útil, não uma promessa de certeza. Quando a incerteza for central, o modelo pode ser complementado por cenários, análise de sensibilidade, simulação ou técnicas probabilísticas.

O foco da disciplina é a decisão estruturada. A matemática organiza alternativas, restrições e objetivos, enquanto a interpretação gerencial avalia viabilidade, riscos, impactos e condições de implementação. Um modelo pode demonstrar que três centros de atendimento seriam suficientes para cobrir uma região, mas a decisão ainda precisa verificar acessibilidade, capacidade das equipes, legislação, qualidade do serviço e efeitos sobre grupos específicos.

Continuidade em relação a Métodos Determinísticos I

Métodos Determinísticos I	Métodos Determinísticos II
Programação linear contínua	Programação inteira, binária e mista
Método gráfico e simplex	Branch-and-bound, limites e lacuna de otimalidade
Dualidade e sensibilidade linear	Decisões lógicas, custos fixos e relações condicionais
Transporte e designação introdutórios	Redes, localização, cobertura, roteirização e sequenciamento
Um objetivo principal	Programação por metas e múltiplos critérios
Modelos estáticos simples	Programação dinâmica e decisões em etapas
Relações lineares	Introdução à otimização não linear
Interpretação de solução contínua	Implementação, arredondamento, heurísticas e validação

A passagem do primeiro para o segundo volume é importante porque muitas decisões reais não admitem frações. Não se abre 0,4 de um depósito, não se contrata 2,7 equipes e não se seleciona 60% de um projeto indivisível. A integralidade altera a geometria do problema e pode tornar inadequado o simples arredondamento da solução linear. Por isso, a disciplina apresenta algoritmos próprios e uma forma diferente de interpretar a solução.

Definição central

Métodos Determinísticos II estuda modelos de otimização avançada que representam decisões discretas, redes, sequências e relações complexas para selecionar alternativas viáveis e melhorar resultados organizacionais sob parâmetros conhecidos.

A definição combina cinco elementos: representação das decisões, estrutura das restrições, critério de desempenho, método de solução e interpretação. O modelo não começa no software. Começa na pergunta gerencial, na definição de unidades, no levantamento de dados e na identificação de regras obrigatórias. O solucionador entra depois, como ferramenta para explorar uma estrutura já compreendida.

Competências desenvolvidas

· formular variáveis inteiras e binárias com significado gerencial claro;

· representar dependências, incompatibilidades, custos fixos e condições lógicas;

· compreender a lógica de branch-and-bound e interpretar limites e lacunas;

· modelar caminho mínimo, árvore geradora, fluxo máximo e fluxo de custo mínimo;

· planejar projetos com redes de precedência, caminho crítico e compressão de prazo;

· aplicar modelos determinísticos de estoques, sequenciamento, localização e cobertura;

· usar programação por metas, dinâmica e não linear em problemas selecionados;

· construir modelos em planilhas ou linguagens de otimização e validar os resultados;

· comunicar soluções, premissas, limitações e consequências para públicos não técnicos.

Ao final da disciplina, a pessoa estudante deve ser capaz de reconhecer a estrutura escondida em uma situação administrativa. O ganho principal não está em memorizar algoritmos, mas em perceber quando uma escolha é indivisível, quando o problema é uma rede, quando a ordem das tarefas altera o resultado e quando objetivos concorrentes precisam ser explicitados.

2. Por que ela faz parte do curso

Decisões gerenciais são frequentemente indivisíveis

A formação em Administração precisa lidar com decisões que não podem ser tratadas como quantidades perfeitamente divisíveis. A empresa escolhe abrir ou não uma filial, comprar ou não uma máquina, aceitar ou rejeitar um contrato, alocar uma pessoa a uma tarefa, programar um veículo em determinada rota ou selecionar um conjunto de projetos. Esses problemas exigem variáveis inteiras e binárias, que representam a lógica real da decisão.

Quando a integralidade é ignorada, o modelo pode produzir uma solução elegante e impraticável. Arredondar depois nem sempre resolve, porque a alteração de uma variável pode violar capacidade, cobertura, orçamento ou precedência. A disciplina ensina a incorporar a indivisibilidade desde a formulação e a avaliar o custo de exigir uma solução implementável.

Organizações funcionam como redes

Fornecedores, centros de distribuição, unidades, pessoas, sistemas, rotas e atividades formam redes. A estrutura de conexões influencia custo, tempo, capacidade e resiliência. Modelos de redes permitem estudar caminhos, conectividade, fluxos e gargalos com uma linguagem adequada. Eles são usados em logística, telecomunicações, transporte, projetos, saúde, energia, serviços digitais e políticas públicas.

O administrador que compreende redes consegue distinguir problemas aparentemente semelhantes. Encontrar a rota de menor custo não é o mesmo que conectar todos os pontos ao menor custo; aumentar o volume transportado não é o mesmo que reduzir o custo do fluxo; escolher instalações não é o mesmo que definir quanto enviar. Cada pergunta possui um modelo específico.

Tempo, precedência e capacidade precisam ser coordenados

Projetos e operações envolvem atividades com duração, ordem e recursos limitados. Atrasos surgem quando dependências não são reconhecidas ou quando várias tarefas disputam a mesma capacidade. O caminho crítico mostra quais atividades determinam a duração do projeto, enquanto modelos de sequenciamento ajudam a organizar ordens, máquinas, salas e equipes.

Essa competência é relevante para implantação de sistemas, eventos, obras, lançamentos, manutenção, campanhas, concursos, processos administrativos e projetos sociais. A técnica não elimina imprevistos, mas permite construir uma linha de base, identificar folgas e concentrar atenção gerencial onde o atraso realmente afeta o prazo final.

Custos fixos e economias de escala mudam decisões

Muitos problemas não são lineares ou puramente proporcionais. Abrir uma instalação gera custo fixo; comprar em maior quantidade pode reduzir preço; produzir internamente pode exigir preparação; expandir capacidade pode ocorrer em blocos. Métodos avançados permitem representar essas estruturas e evitar recomendações baseadas apenas em custo médio ou comparação unitária.

A disciplina também mostra que economias de escala podem criar concentração, enquanto exigências de cobertura e continuidade podem justificar redundância. O modelo torna o conflito visível e permite comparar alternativas com transparência.

Integração entre tecnologia, dados e gestão

Planilhas, solucionadores, linguagens de programação e plataformas analíticas tornaram a otimização acessível. Entretanto, a facilidade de clicar em “resolver” aumenta o risco de aceitar resultados sem compreender a formulação. O curso forma pessoas capazes de conferir unidades, limites, sinais, variáveis, dados e resultados, evitando a transformação do software em uma caixa-preta.

Em projetos de transformação digital, essa competência aproxima áreas de negócio e tecnologia. A pessoa administradora pode traduzir políticas, metas e restrições para uma especificação verificável, acompanhar o desenvolvimento e explicar a solução para quem será afetado.

Ética, equidade e governança

O fato de uma solução minimizar custo não significa que seja socialmente adequada. Um modelo de localização pode concentrar unidades em áreas de maior demanda e ampliar distâncias para comunidades menores. Uma escala pode reduzir despesas e aumentar sobrecarga. Uma política de estoques pode economizar capital e comprometer a continuidade de itens críticos. Por isso, critérios de qualidade, acessibilidade, segurança, equidade e direitos devem entrar como restrições ou objetivos.

A formação gerencial precisa ensinar a perguntar quem define o objetivo, quais impactos ficam fora da função, como os dados foram produzidos e quem responderá pela decisão. A otimização deve ampliar a responsabilidade, não ocultá-la sob uma aparência técnica.

Competências profissionais e áreas de atuação

Área	Aplicações recorrentes
Operações	Lotes, sequenciamento, capacidade, manutenção e mix inteiro
Logística	Rotas, redes, fluxos, localização e cobertura
Projetos	Precedências, caminho crítico, compressão e recursos
Finanças	Seleção de projetos, orçamento de capital e limites de risco
Marketing	Seleção de campanhas, territórios e portfólio promocional
Pessoas	Escalas, designação, treinamento e dimensionamento
Setor público	Localização de serviços, cobertura, transporte e orçamento
Saúde	Fluxos, estoques críticos, agendas e redes assistenciais
Tecnologia	Capacidade, arquitetura de rede, implantação e filas de tarefas
Consultoria e dados	Modelagem, cenários, diagnóstico e comunicação executiva

A disciplina prepara para funções em planejamento, inteligência de negócios, supply chain, processos, consultoria, controladoria, projetos e análise de dados. Mesmo quando a pessoa não executa algoritmos diariamente, compreender os modelos melhora a qualidade das perguntas feitas a especialistas e fornecedores.

3. Conceitos Fundamentais

3.1 Programação inteira, binária e mista

A programação inteira exige que determinadas variáveis assumam valores inteiros. Quando a variável representa uma escolha do tipo sim ou não, utiliza-se o domínio binário 0 ou 1. A programação inteira mista combina variáveis contínuas, inteiras e binárias no mesmo modelo.

A pergunta gerencial central é quais decisões são indivisíveis e quais quantidades podem continuar contínuas. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

x_j ∈ ℤ, y_k ∈ {0,1} e z_l ≥ 0

Uma rede pode decidir abrir depósitos com variáveis binárias y_k e, ao mesmo tempo, definir quantidades enviadas x_ik como variáveis contínuas. O custo fixo de cada depósito é multiplicado por y_k, enquanto os custos de transporte dependem dos fluxos.

A integralidade deve ser atribuída apenas quando corresponde à realidade. Tornar todas as variáveis inteiras aumenta o esforço computacional e pode não acrescentar valor. Toneladas, horas e valores monetários geralmente podem ser contínuos; pessoas, veículos, turnos e instalações costumam exigir números inteiros.

Um procedimento de aplicação seguro envolve: descrever o problema em linguagem comum; definir horizonte e unidade; construir um caso pequeno verificável; resolver; conferir viabilidade; comparar com uma alternativa de referência; e explicar o resultado sem depender apenas da tela do software.

Erros frequentes incluem arredondar a solução linear sem testar viabilidade; usar variável binária quando uma contagem inteira é necessária; esquecer limites superiores e inferiores realistas; misturar unidades incompatíveis. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.2 Variáveis binárias e lógica gerencial

Variáveis binárias transformam regras verbais em relações matemáticas. Elas representam seleção, ativação, precedência, dependência, exclusão e combinação de alternativas.

A pergunta gerencial central é como traduzir expressões como somente se, pelo menos uma, no máximo duas e alternativas incompatíveis. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

y_B ≤ y_A; y_1 + y_2 ≤ 1; y_1 + y_2 + y_3 ≥ 1

Se o projeto B só pode ser executado quando o projeto A for selecionado, impõe-se y_B ≤ y_A. Se duas tecnologias são incompatíveis, usa-se y_1 + y_2 ≤ 1. Para exigir ao menos uma unidade em determinada região, soma-se as variáveis de abertura e impõe-se resultado maior ou igual a um.

A força da modelagem binária está na transparência. Regras que antes ficavam em notas ou na memória da equipe tornam-se verificáveis. A formulação deve ser lida em voz alta depois de escrita: cada desigualdade precisa reproduzir exatamente a política desejada.

Erros frequentes incluem inverter a direção da implicação; confundir “se” com “se e somente se”; representar exclusão quando a regra é apenas prioridade; deixar combinações indesejadas sem restrição. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.3 Custos fixos, ativação e constante grande M

Custos fixos aparecem quando uma decisão ativa uma estrutura antes que qualquer quantidade seja processada. A constante grande M liga uma variável de atividade a uma escolha binária.

A pergunta gerencial central é como impedir produção, envio ou atendimento quando a instalação correspondente não foi ativada. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

0 ≤ x ≤ M y

Se x é a quantidade produzida em uma linha e y indica sua abertura, a restrição x ≤ My força x a zero quando y = 0. Quando y = 1, a quantidade pode assumir valor até M. O custo fixo F é incluído na função objetivo como Fy.

M deve ser grande o suficiente para não bloquear soluções legítimas e pequeno o suficiente para manter o modelo numericamente estável. O melhor M costuma ser um limite derivado de capacidade, demanda ou orçamento, e não um número arbitrariamente enorme.

Erros frequentes incluem usar M excessivo; não incluir o custo fixo na função objetivo; permitir ativação sem capacidade; ignorar custos de fechamento ou transição. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.4 Relaxação linear e lacuna de integralidade

A relaxação linear remove temporariamente a exigência de integralidade. Ela fornece um limite para o melhor valor possível e ajuda a avaliar a dificuldade do problema inteiro.

A pergunta gerencial central é quanto a indivisibilidade custa e quão próxima a solução atual está do melhor limite conhecido. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

gap = |melhor limite − melhor solução inteira| / |melhor solução inteira|

Em maximização, a solução relaxada oferece um limite superior. Se o modelo inteiro produz valor 980 e a relaxação indica no máximo 1.000, a lacuna é aproximadamente 2,04%. Dependendo da decisão, essa diferença pode ser aceitável para encerrar a busca.

A lacuna não mede erro dos dados nem qualidade estratégica. Ela mede apenas distância matemática entre a melhor solução inteira encontrada e o limite do algoritmo. Uma solução com gap zero ainda pode ser inadequada se a formulação estiver errada.

Erros frequentes incluem confundir gap com margem de lucro; comparar limites de modelos diferentes; encerrar com lacuna alta sem avaliar impacto; supor que ótimo matemático garante boa implementação. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.5 Lógica do branch-and-bound

Branch-and-bound resolve problemas inteiros dividindo o espaço de soluções em subproblemas. A relaxação fornece limites, e ramos que não podem superar a melhor solução inteira são descartados.

A pergunta gerencial central é como explorar combinações inteiras sem enumerar todas. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

ramificar → calcular limite → podar → atualizar incumbente

No modelo maximizar 7x + 5y, sujeito a 2x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 8 e x,y inteiros, a relaxação atinge 32 em x = y = 8/3. A melhor solução inteira é x = 3, y = 2, com valor 31. O algoritmo ramifica a partir de uma variável fracionária e elimina regiões cujo limite não supera 31.

A solução inteira corrente é chamada incumbente. O limite indica o que ainda poderia ser obtido nos ramos não explorados. Quanto melhores os limites e as soluções iniciais, mais rápida tende a ser a prova de otimalidade.

Erros frequentes incluem interpretar nó da árvore como decisão temporal; não distinguir solução viável de limite; exigir prova exata quando pequena lacuna é suficiente; ignorar tempo de solução em modelos grandes. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.6 Planos de corte, heurísticas e solução aproximada

Planos de corte adicionam desigualdades válidas que retiram soluções fracionárias sem excluir soluções inteiras. Heurísticas procuram boas soluções viáveis rapidamente, sem garantir que sejam ótimas.

A pergunta gerencial central é como acelerar modelos difíceis e obter recomendações utilizáveis dentro do prazo. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

limite inferior ≤ ótimo ≤ limite superior

Em uma roteirização, uma heurística pode construir rotas por economia de distância e entregar solução viável em segundos. O solucionador usa essa solução como incumbente e continua buscando melhorias ou prova de proximidade.

No ambiente gerencial, tempo de decisão importa. Uma solução 1% acima do custo mínimo, obtida em cinco minutos e explicável, pode ser superior a uma prova exata que demora muitas horas. A tolerância deve ser definida conforme valor, risco e frequência da decisão.

Erros frequentes incluem apresentar heurística como ótimo comprovado; não registrar parâmetros do solucionador; comparar soluções com premissas diferentes; sacrificar regras críticas para acelerar. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.7 Grafos e modelos de rede

Um grafo é formado por nós e arcos. Nós representam locais, estados, atividades ou entidades; arcos representam conexões, movimentos, dependências ou possibilidades.

A pergunta gerencial central é qual estrutura de conexão descreve melhor o problema. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

G = (N, A)

Em uma rede logística, fábricas, depósitos e clientes são nós, enquanto rotas são arcos com custo e capacidade. Em projetos, atividades podem ser nós e precedências podem ser arcos. A interpretação depende da convenção adotada.

A escolha da representação altera o que pode ser analisado. Um arco direcionado permite movimento em um sentido; um arco não direcionado representa conexão simétrica. Custos, tempos, distâncias e capacidades devem ser vinculados à entidade correta.

Erros frequentes incluem confundir nó com arco; duplicar conexões sem necessidade; ignorar direção; atribuir custo total como se fosse unitário. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.8 Caminho mínimo

O problema do caminho mínimo encontra a sequência de arcos de menor custo entre uma origem e um destino. O peso pode representar distância, tempo, risco ou despesa.

A pergunta gerencial central é qual trajeto acumula o menor valor do critério escolhido. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Min Z = Σ c_ij x_ij, com conservação de fluxo nos nós

Em uma rede com A–B = 4, A–C = 2, C–B = 1, B–E = 7 e E–F = 1, além de outras conexões, o caminho A–C–B–E–F tem custo 11 e é o menor entre A e F.

O menor caminho depende do peso. A rota de menor distância pode não ser a de menor tempo quando há congestionamento, pedágios ou restrições. Também é preciso verificar se os dados refletem o período da decisão.

Erros frequentes incluem misturar quilômetros e minutos; usar média quando o pico é relevante; ignorar arcos proibidos; escolher um caminho sem verificar capacidade. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.9 Árvore geradora mínima

A árvore geradora mínima conecta todos os nós de uma rede não direcionada com o menor custo total e sem ciclos.

A pergunta gerencial central é como criar uma infraestrutura básica que conecte todos os pontos. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Min Σ c_ij x_ij, conectando todos os nós sem ciclos

Para seis localidades com custos de ligação conhecidos, uma árvore formada pelos arcos C–B = 2, A–C = 3, D–F = 4, B–D = 5 e E–F = 5 conecta todos os pontos com custo total 19.

A árvore mínima é adequada para redes básicas de cabos, tubulações ou comunicação quando basta uma conexão. Ela pode ser frágil, pois a falha de um único arco divide a rede. Redundância e confiabilidade exigem extensões do modelo.

Erros frequentes incluem usar árvore mínima para fluxo com capacidades; ignorar necessidade de redundância; aplicar em grafo dirigido sem adaptação; confundir custo de instalação com custo operacional. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.10 Fluxo máximo

O modelo de fluxo máximo determina o maior volume que pode ser enviado de uma origem a um destino respeitando capacidades dos arcos.

A pergunta gerencial central é qual é a capacidade efetiva da rede e onde estão os gargalos. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Max v, sujeito a 0 ≤ x_ij ≤ u_ij e conservação de fluxo

Em uma rede com capacidades S–A = 12, S–B = 10, A–C = 8, A–D = 4, B–D = 9, C–T = 10 e D–T = 10, o fluxo máximo é 20 unidades. O corte mínimo confirma que nenhuma solução pode superar esse valor.

A soma das capacidades de saída da origem não basta. Arcos intermediários podem limitar o sistema. A análise do corte mínimo mostra quais expansões podem aumentar a capacidade global e quais apenas deslocariam o gargalo.

Erros frequentes incluem somar capacidades sem considerar continuidade; ignorar conservação nos nós; confundir fluxo máximo com custo mínimo; expandir arco que não pertence ao corte limitante. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.11 Fluxo de custo mínimo e transbordo

O fluxo de custo mínimo envia quantidades pela rede ao menor custo, respeitando oferta, demanda e capacidades. Nós intermediários podem receber e reenviar fluxos.

A pergunta gerencial central é como atender demandas usando rotas diretas e pontos de transbordo. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Min Z = Σ c_ij x_ij, com balanço em cada nó

Duas fábricas fornecem 120 unidades a três lojas. Um centro de distribuição pode receber e redistribuir. A solução ótima envia 35 unidades da F1 ao centro, 35 diretamente à L2, 5 da F2 ao centro e 45 diretamente à L3; o centro atende 40 unidades da L1. O custo total é 675 unidades monetárias.

O modelo pode revelar que uma rota aparentemente mais longa é vantajosa quando combina economias em trechos. Custos devem incluir movimentação, manuseio, pedágio e eventuais limites de operação.

Erros frequentes incluem esquecer balanço no transbordo; contar custo de um trecho duas vezes; usar oferta diferente da demanda sem nó fictício; não limitar capacidade de arcos ou instalações. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.12 Redes de projetos e método do caminho crítico

O método do caminho crítico representa atividades, durações e precedências para calcular início e término mais cedo e mais tarde, folgas e duração mínima do projeto.

A pergunta gerencial central é quais atividades determinam o prazo final e onde existe flexibilidade. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

EF = ES + duração; LS = LF − duração; folga = LS − ES

Considere A = 3 dias; B = 4 após A; C = 5 após A; D = 2 após B; E = 3 após B e C; F = 2 após D e E. Os caminhos A–B–D–F e A–B–E–F têm durações menores que A–C–E–F, que totaliza 13 dias e é crítico.

Atividade crítica tem folga total zero nas premissas atuais. Isso não significa que seja a mais cara ou complexa, mas que qualquer atraso sem compensação desloca o término. Mudanças de duração podem criar outro caminho crítico.

Erros frequentes incluem somar todas as durações; confundir atividade crítica com prioritária por opinião; ignorar calendário e recursos; tratar estimativa como duração garantida. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.13 Compressão de prazo de projetos

A compressão, ou crashing, reduz a duração do projeto mediante custo adicional, escolhendo atividades críticas com menor custo por unidade de tempo.

A pergunta gerencial central é qual é a forma menos onerosa de antecipar o término. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

custo de compressão por período = (custo acelerado − custo normal)/(tempo normal − tempo acelerado)

Se uma atividade crítica dura 6 dias a R$ 12.000 e pode cair para 4 dias a R$ 16.000, o custo marginal é R$ 2.000 por dia. A decisão deve comparar esse valor com outras atividades críticas e com o benefício de antecipar o projeto.

Depois de cada redução, a rede deve ser recalculada. Outro caminho pode se tornar crítico, exigindo compressão simultânea em mais de um caminho. A solução não é simplesmente reduzir a atividade mais barata até o limite.

Erros frequentes incluem comprimir atividade não crítica sem necessidade; não recalcular caminhos; ignorar qualidade e risco; comparar custos totais em vez de marginais. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.14 Modelo do lote econômico de compra

O lote econômico de compra equilibra custo de emitir pedidos e custo de manter estoques, sob demanda conhecida e reposição instantânea.

A pergunta gerencial central é qual quantidade pedir em cada reposição para minimizar o custo relevante anual. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Q* = √(2DS/H)

Com demanda anual D = 24.000 unidades, custo de pedido S = R$ 180 e custo de manutenção H = R$ 6 por unidade-ano, Q* = √(2 × 24.000 × 180 / 6) = 1.200 unidades. Serão aproximadamente 20 pedidos por ano.

O modelo mostra o compromisso entre pedidos frequentes e estoque médio. O custo de compra unitário é omitido quando não varia com o lote. Na prática, capacidade, validade, descontos, risco e nível de serviço podem alterar a recomendação.

Erros frequentes incluem usar taxa de manutenção sem converter para valor; misturar demanda mensal com custo anual; ignorar lote mínimo; aplicar a itens perecíveis sem ajuste. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.15 Lote econômico de produção

O lote econômico de produção considera reposição gradual, porque o item é produzido ao mesmo tempo em que é consumido.

A pergunta gerencial central é qual tamanho de lote reduz preparações e estoque quando a produção não chega instantaneamente. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Q* = √[2DS / H(1 − d/p)]

Para demanda d = 20.000 unidades/ano, taxa de produção p = 50.000, custo de preparação S = R$ 500 e manutenção H = R$ 8, o lote é aproximadamente 2.041 unidades. O estoque máximo é Q(1 − d/p), cerca de 1.225 unidades.

Quanto mais próxima a taxa de produção estiver da demanda, menor será o estoque acumulado durante o ciclo, mas maior pode ser a duração da produção. O modelo depende de p ser superior a d.

Erros frequentes incluem usar a fórmula de compra com reposição gradual; aceitar p menor que d; ignorar tempo de preparação; não verificar capacidade compartilhada. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.16 Descontos por quantidade

Quando o preço unitário varia por faixa de compra, o custo total deve considerar aquisição, pedidos e manutenção para cada alternativa viável.

A pergunta gerencial central é um desconto compensa o aumento de estoque e capital comprometido. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

CT(Q) = DC + (D/Q)S + (Q/2)H

Calcula-se o lote econômico em cada faixa, ajusta-se para o ponto mínimo da faixa quando necessário e compara-se o custo total. Um preço 2% menor pode superar o custo adicional de manutenção, mas a conclusão depende da demanda e da taxa de posse.

O menor preço unitário não garante menor custo total. Devem ser considerados obsolescência, validade, seguro, espaço, financiamento e flexibilidade. A análise também pode incluir risco de demanda.

Erros frequentes incluem comparar apenas preço de compra; não testar pontos de quebra; usar H igual em todas as faixas quando é percentual do preço; ignorar restrição de caixa. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.17 Ponto de reposição e estoque de segurança determinístico

O ponto de reposição indica quando emitir um pedido para que o material chegue antes da falta. Em ambiente estritamente determinístico, ele é a demanda durante o prazo de reposição.

A pergunta gerencial central é em que nível de estoque deve ser acionada a reposição. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

PR = d × L + ES

Se o consumo é 80 unidades por dia, o prazo de entrega é 6 dias e a política adiciona 120 unidades de proteção, o ponto de reposição é 600 unidades.

O estoque de segurança não decorre do modelo determinístico puro; ele é uma decisão de política ou uma aproximação para variação. Em itens críticos, a proteção pode ser definida por continuidade do serviço, e não apenas por custo.

Erros frequentes incluem usar consumo mensal com prazo em dias; confundir posição de estoque com saldo físico; não considerar pedidos em trânsito; adotar segurança igual para todos os itens. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.18 Programação por metas

A programação por metas trata objetivos múltiplos por meio de metas-alvo e variáveis de desvio. O modelo minimiza desvios ponderados ou priorizados.

A pergunta gerencial central é como equilibrar custo, atendimento, emprego, qualidade e outros objetivos concorrentes. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Min Z = Σ w_k(d_k⁻ + d_k⁺)

Uma organização deseja atender pelo menos 95% da demanda, limitar horas extras a 200 e manter custo até R$ 500 mil. Cada meta recebe desvios. O modelo pode priorizar atendimento, depois horas extras e, por fim, custo, ou usar pesos comparáveis.

Pesos não são neutros. Eles expressam preferências e devem ser discutidos. Prioridades lexicográficas impedem que melhoria em meta inferior compense qualquer violação de meta superior.

Erros frequentes incluem somar desvios em unidades incomparáveis sem normalização; atribuir pesos sem governança; penalizar desvio que não importa; confundir meta com restrição obrigatória. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.19 Programação dinâmica

Programação dinâmica decompõe uma decisão sequencial em estágios, estados e transições. O princípio da otimalidade permite resolver subproblemas e combinar resultados.

A pergunta gerencial central é qual sequência de decisões produz o melhor resultado acumulado. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

F_t(s) = melhor_a { retorno_t(s,a) + F_{t+1}(s′) }

Na alocação de um orçamento de quatro unidades entre três projetos, calcula-se o melhor retorno para cada quantidade disponível em cada estágio. A tabela evita recomputar combinações e identifica a distribuição ótima.

O desafio principal é escolher estado suficiente para representar o passado relevante sem tornar o problema gigantesco. A técnica aparece em estoques, substituição de equipamentos, roteiros, investimentos e planejamento multiperíodo.

Erros frequentes incluem definir estado incompleto; criar dimensões demais; somar retornos incompatíveis; não registrar decisão que gerou cada valor. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.20 Introdução à otimização não linear

Um modelo é não linear quando a função objetivo ou as restrições contêm produtos entre variáveis, potências, razões ou outras relações não lineares.

A pergunta gerencial central é como otimizar quando custos, receitas, produtividade ou risco não variam de forma proporcional. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Max f(x), sujeito a g_i(x) ≤ 0

Se a demanda é q = 1.000 − 20p e o custo variável é R$ 10 por unidade, a margem é (p − 10)(1.000 − 20p). A derivada indica preço ótimo de R$ 30 e quantidade de 400 unidades, antes de considerar capacidade e mercado.

Em problemas não lineares, ótimo local e global podem diferir. Convexidade ajuda a garantir que uma solução local seja global. A pessoa administradora precisa testar limites, unidades e plausibilidade econômica.

Erros frequentes incluem aplicar solucionador linear a fórmula não linear; aceitar ótimo local sem diagnóstico; usar relação estimada fora da faixa observada; ignorar restrições de domínio. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.21 Sequenciamento em duas máquinas e regra de Johnson

A regra de Johnson minimiza o tempo total de processamento de um conjunto de tarefas que passa pelas máquinas 1 e 2 na mesma ordem.

A pergunta gerencial central é em que sequência processar tarefas para reduzir o makespan e a espera. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

selecionar o menor tempo restante; se estiver na M1, colocar no início; se estiver na M2, colocar no fim

Para tarefas A(3,8), B(7,4), C(5,6) e D(2,9), o menor tempo é 2 na primeira máquina para D, que vai ao início. O próximo é 3 para A, também no início. O tempo 4 de B está na segunda máquina, então B vai ao fim. C ocupa a posição restante: D–A–C–B.

A regra é específica. Ela pressupõe duas máquinas, mesma ordem tecnológica e tempos conhecidos. Mudanças de preparação, datas de entrega ou máquinas paralelas exigem outros modelos.

Erros frequentes incluem aplicar a três máquinas sem condição especial; ignorar tempos de preparação dependentes da sequência; confundir menor tempo com menor prazo; não construir o cronograma para validar. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.22 Localização de instalações e cobertura

Modelos de localização escolhem onde abrir instalações e como atender demandas. Modelos de cobertura verificam se pontos de demanda ficam dentro de um limite de distância ou tempo.

A pergunta gerencial central é quais locais devem ser ativados para equilibrar custo, acesso e capacidade. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Min Σ F_j y_j + Σ c_ij x_ij; x_ij ≤ M_ij y_j

Um município avalia cinco locais para unidades de atendimento. A variável y_j indica abertura e x_ij indica atendimento da região i pelo local j. Restrições podem exigir cobertura em até 30 minutos, capacidade mínima e presença em áreas prioritárias.

A solução depende da métrica de distância, da granularidade da demanda e das regras de equidade. Médias podem esconder comunidades remotas. É recomendável testar cobertura máxima, p-mediana e cenários de falha.

Erros frequentes incluem usar distância em linha reta quando a rede viária importa; ignorar capacidade; tratar demanda agregada como homogênea; otimizar custo sem padrão mínimo de acesso. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.23 Roteirização de veículos

A roteirização define conjuntos e sequências de visitas para veículos, respeitando capacidade, jornada, janelas de tempo e outras regras.

A pergunta gerencial central é como atender todos os pontos com menor distância, custo ou tempo. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Min Σ c_ij x_ij, com visita única, conservação e eliminação de subciclos

Uma heurística de economias começa com uma rota por cliente e calcula quanto se economiza ao combinar pares. As combinações são aceitas enquanto não violam capacidade e jornada. O resultado serve como solução inicial para melhoria local ou modelo inteiro.

Roteirização é computacionalmente difícil. A melhor prática combina dados geográficos, heurísticas, regras operacionais e revisão humana. A rota ótima no mapa pode ser impraticável por estacionamento, segurança ou restrições locais.

Erros frequentes incluem ignorar subciclos; usar distância simétrica em vias de mão única; não modelar tempo de serviço; criar rota sem margem para variabilidade. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.24 Múltiplos objetivos, fronteira eficiente e robustez

Problemas gerenciais frequentemente envolvem custo, prazo, qualidade, risco e equidade. Métodos multiobjetivo exploram compromissos, enquanto análises de robustez verificam estabilidade diante de mudanças.

A pergunta gerencial central é quais soluções são eficientes e como a escolha muda quando pesos ou parâmetros variam. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

Min λ f_1(x) + (1 − λ) f_2(x), 0 ≤ λ ≤ 1

Uma rede pode minimizar simultaneamente custo e maior distância de atendimento. Ao variar λ, obtém-se uma fronteira de alternativas. Uma solução intermediária pode custar um pouco mais e reduzir fortemente a pior distância.

A fronteira eficiente não escolhe sozinha. Ela organiza o debate e evidencia o preço de cada melhoria. Robustez pode ser avaliada por cenários, intervalos e soluções que permanecem aceitáveis em diferentes premissas.

Erros frequentes incluem esconder pesos como decisão técnica; somar indicadores sem normalização; apresentar uma única solução quando há conflito; confundir robustez com excesso de capacidade. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.25 Implementação, validação e governança do modelo

Um modelo só gera valor quando seus dados, fórmulas, resultados e decisões são verificáveis e quando existe um processo para atualização e acompanhamento.

A pergunta gerencial central é como transformar uma solução matemática em decisão confiável e monitorável. A formulação deve separar o que é escolha, o que é dado e o que é regra obrigatória. Essa separação evita que preferências sejam disfarçadas como parâmetros ou que condições negociáveis sejam tratadas como impossibilidades físicas.

problema → dados → formulação → solução → validação → decisão → acompanhamento

Antes de implantar uma escala otimizada, a equipe confere cobertura, regras trabalhistas, preferências críticas, ausências, limites do sistema e compreensão das pessoas envolvidas. Depois, acompanha horas extras, trocas e qualidade.

Validação inclui teste com casos pequenos, reconciliação com dados históricos, análise de extremos e revisão por pessoas do processo. A documentação deve registrar versão, fontes, unidades, parâmetros do solucionador e decisão adotada.

Erros frequentes incluem validar apenas o código; não envolver quem executa; atualizar dados sem controle de versão; atribuir ao modelo uma decisão que foi política. A correção exige voltar à pergunta original e ler cada variável e restrição como uma frase. Quando a frase não corresponde à realidade, a equação também não corresponde.

3.26 Caderno de exercícios resolvidos

Os exercícios seguintes aprofundam a formulação e a interpretação. O objetivo não é apenas chegar ao resultado, mas explicar por que o modelo escolhido responde à pergunta gerencial.

Exercício resolvido 1: Seleção de projetos com dependência

Situação. Uma empresa possui R$ 900 mil e avalia A, B, C e D. Custos: 300, 250, 400 e 350 mil. Valores presentes: 420, 340, 570 e 500 mil. D depende de B; A e C são incompatíveis.

Modelagem e cálculo. Defina y_A,...,y_D binárias. Maximize 420y_A + 340y_B + 570y_C + 500y_D, sujeito a 300y_A + 250y_B + 400y_C + 350y_D ≤ 900; y_D ≤ y_B; y_A + y_C ≤ 1.

Resultado e interpretação. A enumeração ou o solucionador mostra que B + C é viável e vale 910, enquanto B + D custa 600 e vale 840. C + D exige B e ultrapassa o orçamento. A solução seleciona B e C.

Aprendizado gerencial. A restrição de dependência precisa considerar o custo de B quando D é escolhido. O valor de um projeto não deve ser somado se benefícios se sobrepõem.

Exercício resolvido 2: Cobertura mínima de bairros

Situação. Quatro locais candidatos cobrem conjuntos diferentes de seis bairros. O objetivo é abrir o menor número de postos, garantindo cobertura de todos.

Modelagem e cálculo. Use y_j binárias e, para cada bairro i, imponha a soma dos locais que o cobrem ≥ 1. Minimize Σy_j.

Resultado e interpretação. Se L1 cobre 1,2,3; L2 cobre 2,4; L3 cobre 3,5,6; L4 cobre 1,4,5,6, a combinação L1 + L4 cobre todos os bairros com duas unidades.

Aprendizado gerencial. Cobertura binária não mede capacidade nem distância média. Se o volume for alto, acrescente capacidade e atribuição.

Exercício resolvido 3: Dimensionamento de equipes inteiras

Situação. Cada equipe atende até 38 solicitações por turno. A previsão é de 247 solicitações e exige-se reserva de 10%.

Modelagem e cálculo. A demanda de planejamento é 247 × 1,10 = 271,7. Como equipes são inteiras, n ≥ 271,7/38 = 7,15, portanto n = 8.

Resultado e interpretação. O arredondamento ocorre porque a variável foi definida como inteira e a restrição exige cobertura. Sete equipes atenderiam apenas 266 solicitações.

Aprendizado gerencial. Arredondar para o inteiro mais próximo produziria déficit. Em cobertura, normalmente se usa teto.

Exercício resolvido 4: Caminho mínimo com rota proibida

Situação. Uma distribuidora possui rotas entre seis pontos. A ligação C–E está temporariamente proibida.

Modelagem e cálculo. Retire o arco proibido ou fixe x_CE = 0. Resolva o caminho mínimo com os pesos de custo atualizados.

Resultado e interpretação. Com os dados do exemplo conceitual, o caminho A–C–B–E–F custa 11. Se B–E também ficar indisponível, a melhor rota muda e deve ser recalculada.

Aprendizado gerencial. Alterações de disponibilidade precisam ser refletidas na estrutura, não apenas no custo.

Exercício resolvido 5: Árvore de conexão e redundância

Situação. Uma universidade quer conectar seis prédios por fibra ao menor custo, mas exige que o data center tenha duas ligações independentes.

Modelagem e cálculo. A árvore geradora mínima fornece a base de custo 19. A exigência de redundância quebra a estrutura de árvore e demanda acrescentar um arco ou usar modelo de rede sobrevivente.

Resultado e interpretação. A solução mais barata com redundância será superior a 19. O arco adicional deve ser escolhido considerando o corte que isolaria o data center.

Aprendizado gerencial. A árvore mínima é um ponto de partida, não resposta final quando continuidade é requisito.

Exercício resolvido 6: Fluxo máximo e expansão

Situação. A rede atual transporta 20 unidades por hora. Há orçamento para ampliar apenas um arco em 4 unidades.

Modelagem e cálculo. Identifique o corte mínimo. Aumentar um arco fora do corte não altera o fluxo máximo. Se o corte possui vários arcos saturados, ampliar apenas um pode ou não liberar capacidade, dependendo do restante da rede.

Resultado e interpretação. A recomendação deve mostrar o novo fluxo após cada alternativa de expansão, não apenas o arco mais utilizado.

Aprendizado gerencial. Utilização alta não é sinônimo de gargalo sistêmico.

Exercício resolvido 7: Transbordo com custo de manuseio

Situação. Uma rota via centro de distribuição possui transporte de R$ 2 até o centro, manuseio de R$ 1 e entrega de R$ 3.

Modelagem e cálculo. O custo completo do caminho é R$ 6 por unidade. Cada arco deve receber sua parcela ou o manuseio deve ser representado por divisão do nó.

Resultado e interpretação. Comparar R$ 2 com uma rota direta de R$ 5 seria erro, pois omitiria custos posteriores.

Aprendizado gerencial. Custos em rede devem ser aditivos e definidos por unidade de fluxo.

Exercício resolvido 8: Caminho crítico

Situação. Um projeto tem atividades A3, B4 após A, C5 após A, D2 após B, E3 após B e C, F2 após D e E.

Modelagem e cálculo. O avanço resulta em: A termina 3; B 7; C 8; D 9; E 11; F 13. O caminho crítico é A–C–E–F, com 13 dias.

Resultado e interpretação. Atraso de um dia em B pode ser absorvido parcialmente, desde que não consuma toda a folga e não atrase E.

Aprendizado gerencial. O cálculo precisa considerar convergências: E só começa após B e C.

Exercício resolvido 9: Compressão de prazo

Situação. O projeto precisa cair de 13 para 12 dias. A atividade C custa R$ 1.500 por dia reduzido; E custa R$ 1.000; A custa R$ 2.200.

Modelagem e cálculo. Como todas estão no caminho crítico, reduza E em um dia ao menor custo, se houver capacidade de compressão. Recalcule a rede para verificar novos caminhos críticos.

Resultado e interpretação. A economia de prazo custa R$ 1.000. Uma segunda redução pode exigir outra combinação.

Aprendizado gerencial. A decisão deve comparar custo de compressão com multa, receita antecipada ou benefício público.

Exercício resolvido 10: Lote econômico de compra

Situação. D = 24.000 unidades/ano, S = R$ 180 por pedido e H = R$ 6 por unidade-ano.

Modelagem e cálculo. Q* = √(2DS/H) = 1.200. Número de pedidos = 20. Estoque médio = 600. Custo anual de pedidos = 3.600 e manutenção = 3.600.

Resultado e interpretação. No ótimo básico, os dois componentes variáveis são iguais. O custo relevante total é R$ 7.200.

Aprendizado gerencial. O preço de compra não altera Q se for constante, mas entra no orçamento total.

Exercício resolvido 11: Lote econômico com limite de armazenamento

Situação. O EOQ calculado é 1.200, mas o depósito comporta 900 unidades.

Modelagem e cálculo. A solução factível é Q = 900, se não houver outra restrição. Pedidos = 26,67 por ano; custo de pedido ≈ R$ 4.800; manutenção = R$ 2.700; total = R$ 7.500.

Resultado e interpretação. A capacidade aumenta o custo relevante em apenas R$ 300, mostrando que a função é relativamente plana perto do ótimo.

Aprendizado gerencial. Esse resultado pode evitar investimento desnecessário em espaço.

Exercício resolvido 12: Desconto por quantidade

Situação. D = 10.000, S = 100 e taxa de manutenção 20%. Preço é R$ 50 até 999 unidades e R$ 48 a partir de 1.000.

Modelagem e cálculo. Na primeira faixa, H = 10 e EOQ ≈ 447. CT ≈ 500.000 + 2.236 + 2.235 = 504.471. Na segunda, H = 9,60 e EOQ ≈ 456, mas não é elegível; teste Q = 1.000. CT = 480.000 + 1.000 + 4.800 = 485.800.

Resultado e interpretação. O desconto torna o lote de 1.000 mais econômico, apesar do estoque maior.

Aprendizado gerencial. É necessário verificar caixa, validade e risco antes de aceitar.

Exercício resolvido 13: Ponto de reposição

Situação. Consumo diário de 80, prazo de 6 dias e proteção de 120.

Modelagem e cálculo. PR = 80 × 6 + 120 = 600 unidades. O pedido é emitido quando a posição de estoque chega a 600.

Resultado e interpretação. Posição inclui saldo disponível + pedidos em trânsito − compromissos.

Aprendizado gerencial. Usar apenas saldo físico pode gerar pedidos duplicados.

Exercício resolvido 14: Programação por metas

Situação. Uma unidade quer atender 1.000 pessoas, limitar custo a R$ 200 mil e usar até 400 horas extras.

Modelagem e cálculo. Crie desvios para cada meta. Se atendimento for prioridade 1, minimize primeiro d_atendimento⁻. Em prioridade 2, minimize excesso de horas; em prioridade 3, excesso de custo.

Resultado e interpretação. O resultado pode aceitar custo acima da meta se isso for necessário para não descumprir atendimento prioritário.

Aprendizado gerencial. A ordem de prioridades deve ser aprovada pela governança, não escolhida pelo analista isoladamente.

Exercício resolvido 15: Programação dinâmica de orçamento

Situação. Quatro unidades de orçamento serão distribuídas entre projetos A, B e C. Retornos por 0–4 unidades: A = 0,5,9,12,14; B = 0,4,8,11,13; C = 0,6,10,13,15.

Modelagem e cálculo. Calcule a melhor combinação por estágios. Testando divisões, A1 + B0 + C3 retorna 18; A0 + B1 + C3 retorna 17; A1 + B1 + C2 retorna 19, que é melhor.

Resultado e interpretação. A solução aloca uma unidade a A, uma a B e duas a C.

Aprendizado gerencial. Retornos devem ser incrementais e comparáveis; efeitos de interação exigem estado adicional.

Exercício resolvido 16: Preço ótimo com demanda linear

Situação. Demanda q = 1.000 − 20p e custo variável de R$ 10.

Modelagem e cálculo. Lucro = (p−10)(1.000−20p). Derivada: 1.200 − 40p = 0, logo p = 30. Quantidade = 400 e margem = R$ 8.000 antes dos custos fixos.

Resultado e interpretação. Se capacidade for 300, o preço precisa ser ao menos 35 para limitar demanda a 300, ou a empresa deve avaliar racionamento.

Aprendizado gerencial. A relação de demanda deve ser validada e não extrapolada sem cuidado.

Exercício resolvido 17: Regra de Johnson

Situação. Tempos A(3,8), B(7,4), C(5,6), D(2,9).

Modelagem e cálculo. O menor tempo é D na M1, colocado primeiro. A vem depois. B tem menor tempo na M2 e vai ao final. C ocupa a posição restante. Sequência D–A–C–B.

Resultado e interpretação. Monte o cronograma: a segunda máquina pode ficar ociosa no início, mas o makespan global é reduzido pela regra.

Aprendizado gerencial. Datas de entrega e preparações podem exigir outro critério.

Exercício resolvido 18: Localização com capacidade

Situação. Dois depósitos candidatos têm capacidades 80 e 70; três regiões demandam 50, 40 e 45.

Modelagem e cálculo. Abrir apenas um é inviável porque nenhuma capacidade atende 135. O modelo deve abrir ambos ou incluir instalação adicional. Os fluxos são então definidos pelos custos e limites.

Resultado e interpretação. A inviabilidade é informação gerencial: a política de uma única instalação é incompatível com a demanda.

Aprendizado gerencial. Não force o solucionador com penalidades sem explicar a violação.

Exercício resolvido 19: Roteirização e capacidade

Situação. Um veículo comporta 12 caixas. Clientes demandam 5, 4, 6 e 3.

Modelagem e cálculo. São necessários ao menos dois veículos ou viagens porque a demanda total é 18. Uma combinação possível é 6+5 = 11 e 4+3 = 7. Depois, a sequência é definida por distâncias.

Resultado e interpretação. Agrupar apenas por proximidade pode criar rota acima da capacidade.

Aprendizado gerencial. Primeiro verifique capacidade; depois compare sequências.

Exercício resolvido 20: Fronteira custo versus cobertura

Situação. Alternativa A custa 100 e cobre 80%; B custa 115 e cobre 92%; C custa 145 e cobre 96%.

Modelagem e cálculo. Nenhuma é dominada se maior cobertura for valorizada. O custo incremental por ponto percentual é 15/12 = 1,25 de A para B e 30/4 = 7,5 de B para C.

Resultado e interpretação. A passagem de B para C é muito mais cara por ponto adicional. A decisão depende do valor das últimas regiões cobertas.

Aprendizado gerencial. Médias de cobertura podem esconder grupos prioritários.

Exercício resolvido 21: Grande M bem dimensionado

Situação. Uma linha só opera se y = 1 e sua capacidade máxima é 600 unidades.

Modelagem e cálculo. Use x ≤ 600y, e não x ≤ 1.000.000y. O limite de 600 é válido e melhora a formulação.

Resultado e interpretação. Limites apertados fortalecem a relaxação e aceleram a solução.

Aprendizado gerencial. Documente a origem do número para que futuras mudanças de capacidade sejam atualizadas.

Exercício resolvido 22: Validação por caso extremo

Situação. Um modelo de seleção de fornecedores deveria impedir compras de fornecedor não homologado.

Modelagem e cálculo. Fixe a homologação em zero e teste. Se o modelo ainda compra desse fornecedor, a ligação lógica está ausente ou invertida.

Resultado e interpretação. Casos extremos são testes unitários do modelo.

Aprendizado gerencial. Validar apenas a solução normal pode deixar erros escondidos.

Exercício resolvido 23: Análise da lacuna

Situação. Após dez minutos, o solucionador encontra custo 1.020 e limite 1.000 em minimização.

Modelagem e cálculo. A lacuna relativa é (1.020−1.000)/1.020 ≈ 1,96%. A organização pode aceitar se economias potenciais de até 20 forem inferiores ao custo de esperar.

Resultado e interpretação. Registre tempo, gap e motivo da parada.

Aprendizado gerencial. Não afirme otimalidade exata; informe solução com lacuna de 1,96%.

Exercício resolvido 24: Cenário de falha em rede

Situação. A solução de menor custo depende de um único centro de distribuição.

Modelagem e cálculo. Crie cenário removendo o centro ou reduzindo capacidade. Compare custo, cobertura e atraso. Pode ser racional manter capacidade alternativa mesmo que não apareça no ótimo básico.

Resultado e interpretação. Resiliência é um critério gerencial e pode ser incorporada por redundância, cenários ou penalidades.

Aprendizado gerencial. Uma rede barata e frágil pode ter custo total de risco elevado.

3.27 Estudos dirigidos adicionais

Os estudos dirigidos seguintes foram elaborados para consolidar o raciocínio em problemas que combinam mais de uma técnica. Cada situação começa por uma decisão realista, apresenta a formulação e termina com uma leitura gerencial. Eles podem ser utilizados como atividades em sala, trabalhos em grupo ou base para implementação em solucionador.

Estudo dirigido 1: Centro de distribuição com custo fixo e faixa de capacidade

Situação. Uma empresa pode abrir um depósito compacto com capacidade de 800 unidades e custo fixo de R$ 45 mil ou um depósito ampliado com capacidade de 1.400 e custo de R$ 70 mil. As duas configurações usam o mesmo terreno e não podem coexistir.

Formulação. Crie y_c e y_a binárias, imponha y_c + y_a ≤ 1 e limite o fluxo total por 800y_c + 1.400y_a. Se alguma demanda precisa ser atendida pelo terreno, use y_c + y_a = 1. O custo fixo entra no objetivo, junto com transporte.

Raciocínio e cálculo. Para demanda de 950, a configuração compacta é inviável, embora tenha menor custo fixo. O modelo seleciona a ampliada ou outra instalação. Para demanda de 700, ambas são viáveis e a decisão depende de transporte, crescimento e valor da folga.

Interpretação gerencial. A formulação evita usar capacidade média ou abrir “parte” da expansão. Também permite avaliar o custo incremental de preparar crescimento. Um cenário de demanda mostra quando a alternativa ampliada passa a ser racional.

Para completar a atividade, a pessoa estudante deve identificar dados ausentes, propor pelo menos um cenário alternativo, descrever como verificaria a solução e indicar um aspecto humano, legal ou estratégico que não pode ser reduzido ao valor da função objetivo.

Estudo dirigido 2: Seleção de fornecedores com diversificação obrigatória

Situação. Uma organização precisa comprar 10.000 unidades de um material. Cada fornecedor possui capacidade, preço e custo fixo de homologação. A política exige pelo menos dois fornecedores e limita qualquer um a 70% do volume.

Formulação. Use x_j para volume e y_j binária para seleção. Imponha x_j ≤ cap_j y_j, x_j ≤ 7.000, Σx_j = 10.000 e Σy_j ≥ 2. Minimize Σp_jx_j + ΣF_jy_j.

Raciocínio e cálculo. Um fornecedor de menor preço pode não receber tudo por causa da concentração. O segundo fornecedor acrescenta custo fixo e preço, mas reduz exposição. A solução deve ser comparada a um cenário sem limite para medir o custo explícito da diversificação.

Interpretação gerencial. Esse custo é uma medida do prêmio de resiliência. A análise não prova qual limite é correto, mas mostra quanto a organização paga para evitar dependência e permite discutir 60%, 70% ou 80%.

Estudo dirigido 3: Designação com incompatibilidades e equilíbrio de carga

Situação. Seis pessoas serão designadas a seis tarefas. Algumas não possuem certificação, e duas tarefas críticas não podem ficar sob a mesma supervisão. A direção também deseja limitar a diferença de carga entre grupos.

Formulação. Variáveis x_ij binárias atribuem pessoa i à tarefa j. Cada pessoa e tarefa aparecem uma vez. Pares proibidos recebem x_ij = 0. A restrição de supervisão liga designações a variáveis de grupo. Desvios podem medir diferença de carga.

Raciocínio e cálculo. O problema deixa de ser uma designação pura quando recebe regras adicionais, mas continua sendo um modelo inteiro. A solução de menor tempo pode ser alterada para respeitar certificação e equilíbrio. O custo dessa alteração deve ser relatado.

Interpretação gerencial. A formulação mostra que “melhor pessoa para cada tarefa” isoladamente não produz necessariamente a melhor alocação global. Conflitos e escassez de competências exigem visão do conjunto.

Estudo dirigido 4: Rede com tarifa fixa de utilização de arco

Situação. Uma transportadora pode utilizar rotas terceirizadas. Cada rota cobra uma taxa fixa se for ativada e um valor por unidade enviada. Algumas rotas só são vantajosas com volume suficiente.

Formulação. Associe x_ij ao fluxo e y_ij à ativação. Use x_ij ≤ u_ij y_ij e inclua F_ij y_ij + c_ij x_ij no objetivo. O balanço de nós permanece como no fluxo de custo mínimo.

Raciocínio e cálculo. A presença de custo fixo transforma o problema de rede linear em inteiro misto. Uma rota de custo unitário baixo pode ser descartada quando o volume é pequeno, enquanto uma rota mais cara por unidade pode ser preferida por não possuir taxa fixa.

Interpretação gerencial. A decisão deve ser revisada quando o volume mudar. A análise de ponto de indiferença entre rotas ajuda a explicar a solução para compras e logística.

Estudo dirigido 5: Projeto com dois caminhos críticos e compressão combinada

Situação. Um projeto possui dois caminhos críticos de 20 dias. No primeiro, A pode ser reduzida por R$ 3 mil/dia; no segundo, B por R$ 2 mil/dia. A atividade comum C pode ser reduzida por R$ 4,5 mil/dia.

Formulação. Para reduzir um dia, há duas estratégias: reduzir C, afetando ambos os caminhos, ou reduzir simultaneamente A e B. Compare R$ 4,5 mil com R$ 5 mil. Depois de cada redução, recalcule a rede e limites de compressão.

Raciocínio e cálculo. A atividade comum C é preferida no primeiro dia. Se C só puder reduzir uma vez, o próximo dia exige A+B ou outra atividade comum. O cálculo marginal muda conforme os caminhos e limites.

Interpretação gerencial. A compressão é um problema de otimização, não uma lista ordenada fixa. O cronograma deve ser recalculado porque novos caminhos podem se tornar críticos.

Estudo dirigido 6: Estoque com faltas planejadas

Situação. Uma empresa aceita atraso controlado de pedidos porque clientes toleram espera e o custo de falta é mensurável. O custo anual de manutenção é H e o custo de falta por unidade-ano é P.

Formulação. No modelo clássico com faltas permitidas, o lote ótimo é Q* = √[2DS(H+P)/(HP)] e o estoque máximo é I* = Q*P/(H+P). A quantidade máxima em atraso é Q*−I*.

Raciocínio e cálculo. Com D = 12.000, S = 100, H = 4 e P = 12, Q* = √[2×12.000×100×16/(48)] = √800.000 ≈ 894. O estoque máximo é 894×12/16 ≈ 671 e o atraso máximo ≈ 223.

Interpretação gerencial. Permitir falta reduz estoque, mas cria espera e risco comercial. O custo P deve incluir compensação, perda de confiança e operação de pendências, não apenas multa explícita.

Estudo dirigido 7: Substituição de equipamento por programação dinâmica

Situação. Uma organização decide anualmente manter ou substituir um equipamento durante quatro anos. Custos de operação aumentam com a idade, e o valor de revenda diminui.

Formulação. O estado é a idade do equipamento no início do ano. As ações são manter ou substituir. O custo da ação inclui operação, compra e revenda, somado ao melhor custo futuro do estado resultante.

Raciocínio e cálculo. Resolve-se do último ano para o primeiro. Se manter um equipamento de três anos custa R$ 30 mil e substituí-lo custa R$ 50 mil líquidos, mas o novo reduz custos futuros em R$ 25 mil, a decisão depende da soma multiperíodo, não do gasto imediato.

Interpretação gerencial. Programação dinâmica evita a regra simplista de substituir quando o custo anual supera certo valor. Ela considera como a decisão atual muda as opções dos anos seguintes.

Estudo dirigido 8: Planejamento multiperíodo de produção e estoque

Situação. Uma fábrica conhece demanda, capacidade e custo por quatro meses. Pode produzir antecipadamente e estocar, mas não permite atraso.

Formulação. Variáveis x_t de produção e I_t de estoque satisfazem I_{t-1}+x_t−I_t=D_t. Limites de capacidade restringem x_t. O objetivo minimiza produção, hora extra, preparação e manutenção.

Raciocínio e cálculo. Se o mês 3 possui demanda acima da capacidade, o modelo precisa formar estoque nos meses anteriores. O custo de manutenção é comparado ao custo de hora extra. Uma solução mensal isolada seria inviável ou cara.

Interpretação gerencial. O balanço de estoque liga períodos e mostra que decisões antecipadas podem ser necessárias. A qualidade da previsão e as regras de validade são centrais.

Estudo dirigido 9: Localização com objetivo de equidade territorial

Situação. Uma rede de atendimento deseja minimizar custo, mas também impedir que qualquer região fique a mais de 45 minutos de uma unidade.

Formulação. O modelo de custo recebe restrições x_ij = 0 quando o tempo supera 45, ou uma restrição de distância máxima. Alternativamente, uma variável z representa a maior distância e entra em objetivo multiobjetivo.

Raciocínio e cálculo. A restrição pode exigir uma unidade adicional. A diferença de custo entre solução puramente econômica e solução com máximo de 45 minutos é o preço da política de equidade territorial.

Interpretação gerencial. Esse preço deve ser apresentado junto com distribuição de beneficiárias(os). A decisão não é apenas matemática, mas o modelo oferece transparência sobre o compromisso.

Estudo dirigido 10: Roteirização com janela de tempo

Situação. Clientes devem ser visitados dentro de intervalos específicos. Chegar cedo gera espera; chegar tarde é proibido ou penalizado.

Formulação. Além das variáveis de arco, crie tempos de chegada t_i. Para cada arco usado, t_j ≥ t_i + serviço_i + viagem_ij − M(1−x_ij). Limites a_i ≤ t_i ≤ b_i representam a janela.

Raciocínio e cálculo. O grande M precisa refletir o horizonte. Uma rota curta em distância pode ser inviável por ordem de janelas. O solucionador combina sequência e horários.

Interpretação gerencial. A solução deve reservar margem operacional quando tempos de viagem variam. A formulação determinística fornece plano-base; simulação pode avaliar pontualidade.

Estudo dirigido 11: Mistura não linear com rendimento decrescente

Situação. Uma campanha combina investimento em dois canais. O retorno de cada canal cresce com o investimento, mas a taxas decrescentes, e existe efeito de interação.

Formulação. Uma função possível é R = 100√x + 80√y + 5√(xy), com x+y≤B. O modelo é não linear e deve respeitar x,y≥0. A solução pode ser obtida numericamente.

Raciocínio e cálculo. Os retornos marginais diminuem, favorecendo diversificação, enquanto a interação recompensa combinação. A forma da função precisa ser estimada e validada; números arbitrários produzem aparência de precisão sem base.

Interpretação gerencial. A análise de sensibilidade dos coeficientes é tão importante quanto o ótimo. Se pequenas alterações mudam muito a alocação, a recomendação deve ser apresentada como faixa.

Estudo dirigido 12: Programação por metas em plano de produção

Situação. A empresa precisa atender demanda mínima, limitar horas extras e manter margem. Não existe solução que alcance todas as metas simultaneamente.

Formulação. Crie desvios d_demanda⁻, d_hora⁺ e d_margem⁻. Se atendimento é prioridade 1, minimize primeiro sua falta. Em prioridade 2, minimize horas extras. Em prioridade 3, minimize falta de margem.

Raciocínio e cálculo. A solução pode produzir mais horas extras do que a meta para não deixar demanda prioritária sem atendimento. Se a ordem for alterada, a solução muda. Pesos normalizados são alternativa quando compensações são permitidas.

Interpretação gerencial. O resultado deve apresentar desvios em unidades originais. Dizer apenas que a função vale 37 não ajuda; é necessário informar quantas unidades faltaram, quantas horas excederam e qual margem ficou abaixo.

Estudo dirigido 13: Solução robusta por cenários de demanda

Situação. Uma empresa seleciona capacidade antes de conhecer se a demanda será baixa, média ou alta. Ela não deseja usar probabilidades, mas quer evitar solução que falhe em cenário plausível.

Formulação. Represente uma decisão de capacidade comum aos cenários e variáveis operacionais específicas para cada um. Exija atendimento em todos os cenários ou permita desvios penalizados. Minimize custo fixo mais pior custo ou soma ponderada.

Raciocínio e cálculo. A solução robusta costuma contratar mais capacidade que o plano médio. O custo adicional é comparado à redução de falta nos cenários altos. Uma versão menos conservadora pode proteger apenas demandas essenciais.

Interpretação gerencial. Robustez não significa preparar-se para qualquer valor inimaginável. Os cenários precisam ser plausíveis, documentados e periodicamente revistos.

Estudo dirigido 14: Auditoria de um modelo inviável

Situação. Um solucionador informa que não existe solução para uma escala. A equipe suspeita de erro, mas também pode haver conflito real entre regras.

Formulação. Revise unidades e domínios, teste relaxação de grupos de restrições, examine relatório de inviabilidade e construa uma versão mínima. Variáveis de desvio com penalidade alta ajudam a identificar o menor conjunto de violações.

Raciocínio e cálculo. Se a cobertura exige 120 horas e a disponibilidade total é 110, a inviabilidade é real. Se a soma deveria estar em turnos e foi comparada a horas, há erro de unidade. O diagnóstico separa política incompatível de defeito técnico.

Interpretação gerencial. Não se deve ocultar inviabilidade forçando números. O relatório deve explicar quais requisitos entram em conflito e quais mudanças restauram viabilidade.

3.28 Como ler um relatório de solução

Solucionadores apresentam mais informações do que o valor final da função. Aprender a ler o relatório é parte da disciplina, porque uma recomendação precisa indicar status, qualidade, limites, recursos utilizados e possíveis fragilidades. A nomenclatura varia entre ferramentas, mas os conceitos são semelhantes.

Status da solução

O status pode indicar ótimo comprovado, solução viável, inviabilidade, ilimitabilidade, interrupção por tempo ou erro. “Solução encontrada” não é necessariamente “ótimo”. Em modelos inteiros, o algoritmo pode parar com uma incumbente e uma lacuna positiva. O relatório executivo deve informar essa condição de forma direta.

Quando o modelo é inviável, não há combinação que satisfaça todas as restrições. Isso pode representar conflito real entre políticas ou erro de formulação. A resposta correta não é alterar números silenciosamente, mas identificar o conjunto incompatível e discutir alternativas.

Valor objetivo e reconciliação

O valor objetivo deve ser recalculado a partir das variáveis selecionadas. Em um modelo de custos fixos e variáveis, some separadamente abertura, produção, transporte e penalidades. A reconciliação detecta coeficientes omitidos, sinais invertidos e custos em unidades diferentes.

Também é necessário comparar o valor com uma política atual ou solução simples. Uma redução de 3% pode ser relevante em operação recorrente e irrelevante em decisão única de baixo valor. O percentual deve ser acompanhado por valor absoluto, horizonte e custo de implementação.

Variáveis e decisões

Liste variáveis diferentes de zero e traduza-as para linguagem comum. Em modelos grandes, agrupe por instalação, período, rota ou categoria. Variáveis binárias próximas de zero ou um na relaxação não representam decisão final quando a integralidade ainda não foi aplicada.

A solução precisa ser convertida em plano executável: quantidade, responsável, local, data e condição. Números sem vínculo com processos permanecem como resultado técnico, não decisão organizacional.

Folgas, saturação e gargalos

A folga mostra quanto resta antes de uma restrição se tornar ativa. Em capacidade, folga zero indica saturação. Em meta mínima, excesso pode indicar margem de segurança. Nem toda restrição ativa é um problema; algumas expressam balanços que sempre serão iguais.

Em programação inteira, preços-sombra do modelo linear precisam de cautela, mas a relaxação ainda pode oferecer sinal sobre recursos escassos. Para decisões de expansão, é recomendável resolver cenários discretos, porque uma unidade adicional de capacidade pode não ser utilizável até completar um bloco.

Limites, gap e tempo

Em minimização, a incumbente é um limite superior para o ótimo; o melhor limite do algoritmo é inferior. Em maximização, ocorre o inverso. A lacuna quantifica a distância. O relatório deve registrar fórmula usada, pois ferramentas podem apresentar percentuais com convenções diferentes.

O tempo aceitável depende da decisão. Planejamento anual pode permitir busca longa; roteirização diária precisa de resposta rápida. Defina previamente limite de tempo e gap-alvo. Essa escolha evita que a equipe espere prova exata sem benefício gerencial.

Cenários e estabilidade

Uma única solução não mostra estabilidade. Altere demandas, custos, capacidades e regras relevantes. Registre quais decisões permanecem e quais mudam. Alternativas que aparecem em todos os cenários formam um núcleo robusto; escolhas instáveis exigem flexibilidade ou informação adicional.

A análise de cenários não deve virar uma coleção de tabelas sem conclusão. Resuma gatilhos: até qual demanda a instalação atual atende; a partir de que custo muda o fornecedor; quanto atraso torna a compressão vantajosa; qual falha interrompe a rede.

Comunicação executiva

Um relatório gerencial pode ser organizado em uma página: pergunta, recomendação, impacto, premissas, recursos críticos, cenários, riscos e próximos passos. Detalhes de formulação ficam em anexo auditável. Essa separação mantém clareza sem ocultar o método.

A comunicação deve evitar frases como “o algoritmo decidiu”. Pessoas e instituições decidem; o algoritmo produziu uma solução segundo critérios definidos. Essa linguagem preserva responsabilidade e facilita contestação quando as premissas não representam o contexto.

3.29 Checklist de qualidade do modelo

Antes de considerar um modelo concluído, aplique um checklist de qualidade. Na definição do problema, confirme a pessoa responsável pela decisão, o horizonte, a população, o objetivo e as alternativas. Verifique se a pergunta é suficientemente específica para produzir uma recomendação e suficientemente ampla para não otimizar apenas uma etapa local.

Nos dados, confira fonte, data, unidade, tratamento de valores ausentes, duplicidades e coerência entre tabelas. Parâmetros estimados devem ser distinguidos de limites físicos e regras institucionais. Quando houver informação sensível, defina acesso, finalidade e período de retenção.

Na formulação, leia cada variável e restrição como frase. Teste se as relações lógicas funcionam nos dois sentidos desejados. Confirme não negatividade, integralidade, limites e balanços. Verifique se o grande M possui justificativa e se custos fixos aparecem uma única vez.

Na solução, confirme status, valor objetivo, viabilidade, gap e tempo. Recalcule componentes principais e compare com caso manual. Analise variáveis não nulas, recursos saturados, folgas e decisões contraintuitivas. Uma surpresa pode ser descoberta relevante ou sinal de erro; precisa ser investigada.

Na validação, execute cenários extremos, remova alternativas, aumente capacidades e verifique reação. Compare com histórico e com política atual. Peça revisão a pessoas do processo e registre exceções conhecidas. Modelos que não conseguem reproduzir situações simples não devem orientar decisões complexas.

Na implementação, transforme variáveis em ações, responsáveis e prazos. Defina indicadores, tolerâncias e processo de mudança. Explique quais decisões podem ser ajustadas localmente e quais exigem nova solução. Prepare contingência para falha de dados, sistema ou premissa.

Na governança, registre autoria, versão, fontes, critérios, aprovações e limitações. Avalie impactos distributivos, ambientais, trabalhistas e de acessibilidade. Crie canal para contestação e revisão. Um modelo bem governado não é aquele que nunca muda, mas aquele cujas mudanças podem ser compreendidas e justificadas.

4. Principais Temas e Organização

Organização sugerida em módulos

Módulo	Conteúdo principal	Produto de aprendizagem
1. Revisão e formulação avançada	Variáveis inteiras, binárias e mistas; lógica; custos fixos	Modelo de seleção ou ativação
2. Solução de modelos inteiros	Relaxação, branch-and-bound, cortes, gap e heurísticas	Leitura de relatório de solução
3. Redes fundamentais	Caminho mínimo, árvore mínima, fluxo máximo e custo mínimo	Diagnóstico de rede
4. Projetos e sequenciamento	CPM, folgas, compressão, Johnson e calendários	Cronograma analisado
5. Estoques determinísticos	EOQ, EPQ, descontos e reposição	Política de lote e ponto de pedido
6. Localização e roteirização	Cobertura, capacidade, p-mediana e rotas	Plano territorial ou logístico
7. Múltiplas metas e decisões em etapas	Programação por metas e dinâmica	Modelo de compromisso ou alocação
8. Não linearidade e robustez	Otimização não linear, cenários, fronteira e validação	Relatório gerencial integrado

Sequência ao longo de dezesseis semanas

Semana	Tema	Atividade prática
1	Revisão de modelagem linear e limites	Reformular um caso do volume I
2	Variáveis inteiras e binárias	Seleção de projetos
3	Lógica, dependências e custos fixos	Modelo de abertura de instalação
4	Branch-and-bound e gap	Árvore pequena resolvida à mão
5	Solucionadores e relatórios	Planilha com modelo inteiro
6	Caminho mínimo e árvore mínima	Rede de rotas e infraestrutura
7	Fluxo máximo e custo mínimo	Gargalo e distribuição
8	Avaliação intermediária	Problema integrado de redes
9	CPM e compressão	Projeto com precedências
10	Estoques determinísticos	Lote, custo e reposição
11	Sequenciamento	Regra de Johnson e cronograma
12	Localização e cobertura	Unidades de serviço
13	Roteirização	Heurística e restrições
14	Programação por metas e dinâmica	Metas concorrentes e estágios
15	Não linearidade e robustez	Preço, cenário e sensibilidade
16	Projeto final	Apresentação e defesa do modelo

Método de estudo recomendado

O estudo deve alternar quatro movimentos. Primeiro, leitura conceitual para reconhecer a estrutura. Segundo, formulação manual para definir variáveis e restrições. Terceiro, resolução de um caso pequeno, que permita conferir o resultado. Quarto, uso de planilha ou linguagem de otimização em instância maior. Pular diretamente para o software tende a esconder erros de lógica.

Para cada modelo, mantenha uma ficha com pergunta gerencial, variáveis, unidades, função objetivo, restrições, fontes de dados, resultado, teste de viabilidade e interpretação. Essa ficha transforma exercícios em repertório profissional reutilizável.

Avaliação da aprendizagem

Uma avaliação equilibrada combina formulação, cálculo, interpretação e comunicação. Provas exclusivamente algorítmicas podem medir manipulação e deixar de avaliar a escolha do modelo. Trabalhos apenas descritivos podem omitir rigor quantitativo. O ideal é pedir que a pessoa estudante modele uma situação, resolva parte manualmente, utilize ferramenta e defenda a recomendação.

Também é útil avaliar a capacidade de criticar uma solução. Perguntas como “qual restrição foi esquecida?”, “o que torna o resultado inviável?” ou “que cenário mudaria a recomendação?” aproximam o aprendizado do cotidiano gerencial.

5. Relação com outras matérias

Métodos Determinísticos I

Fornece programação linear, simplex, dualidade, transporte e sensibilidade. O segundo volume utiliza essa base e acrescenta integralidade, redes e estruturas avançadas.

A conexão torna-se mais útil quando os conceitos são traduzidos em dados e regras. A disciplina relacionada fornece significado aos parâmetros; o modelo fornece uma estrutura para comparar decisões. Sem essa integração, a otimização pode ser matematicamente correta e administrativamente vazia.

Análise das Decisões Gerenciais

A otimização organiza alternativas e consequências; a análise decisória acrescenta risco, preferências, vieses, negociação e governança.

Administração da Produção

Lotes, sequenciamento, capacidade, gargalos e programação de operações dependem de modelos determinísticos.

Logística e cadeia de suprimentos

Redes, localização, estoques, transporte e roteirização são aplicações centrais.

Gestão de Projetos

CPM, folgas, compressão, precedências e recursos apoiam cronogramas e decisões de prazo.

Contabilidade Gerencial

Custos relevantes, margens, custos fixos e orçamento alimentam funções objetivo e restrições.

Finanças e orçamento de capital

Seleção de projetos, limites de investimento e dependências podem ser representados por modelos binários.

Estatística e Métodos Probabilísticos

Fornecem estimativas, distribuições e incerteza. Métodos determinísticos podem usar cenários produzidos por essas disciplinas.

Sistemas de Informação

Modelos dependem de dados, integrações, qualidade cadastral, regras e implementação em sistemas.

Gestão de Pessoas

Escalas, designação e cobertura exigem restrições trabalhistas, competências e preferências.

Marketing

Seleção de campanhas, territórios, mix promocional e alocação de verba podem ser otimizados.

Gestão Pública

Cobertura territorial, localização de serviços, transporte, orçamento e continuidade exigem critérios de equidade e transparência.

Ética e sustentabilidade

Objetivos econômicos devem conviver com limites ambientais, direitos, acessibilidade e impactos distributivos.

6. Aplicações Práticas e Profissionais

Como o administrador utiliza os métodos

No trabalho, a pessoa administradora raramente recebe um problema já escrito em equações. Ela recebe reclamações, metas, planilhas, regras e conflitos entre áreas. O primeiro passo é construir uma pergunta decidível. Em seguida, define horizonte, nível de detalhe, alternativas, critérios e restrições. O modelo é uma etapa dessa investigação, e não o início automático.

Uma aplicação profissional completa costuma produzir cinco entregas: base de dados validada, modelo documentado, solução de referência, cenários e recomendação executiva. O relatório deve explicar o que muda, quais recursos ficam críticos, quais premissas sustentam a decisão e como acompanhar o resultado.

6.1 Planejamento de portfólio

Selecionar projetos, produtos ou iniciativas sob orçamento, equipe e dependências. Variáveis binárias representam aprovação. A análise deve separar valor incremental, sobreposição de benefícios e riscos de execução. Em comitês, o modelo ajuda a mostrar por que um conjunto supera outro e quanto seria necessário para incluir uma iniciativa adicional.

Uma prática recomendada é construir primeiro uma solução-base simples e compará-la com a política atual. Depois, acrescentam-se restrições e cenários. Essa abordagem incremental facilita validação e mostra quais regras realmente alteram o resultado.

O painel de acompanhamento deve combinar indicador do objetivo com medidas de qualidade e risco. Reduzir custo, por exemplo, não é suficiente se atrasos, sobrecarga, distância ou concentração piorarem. A recomendação deve explicitar esses efeitos.

6.2 Abertura de unidades

Escolher locais para filiais, postos, laboratórios ou centros de distribuição. Custos fixos, capacidades, cobertura e distâncias entram no modelo. Em serviços públicos, pode ser necessário limitar a maior distância, garantir atendimento de áreas prioritárias e testar falha de uma unidade.

6.3 Desenho de redes

Definir conexões de fibra, energia, transporte, distribuição ou comunicação. Árvore mínima reduz custo inicial, enquanto modelos com redundância aumentam resiliência. A recomendação deve distinguir custo de implantação, operação, manutenção e risco de interrupção.

6.4 Gestão de tráfego e fluxo

Avaliar capacidade de corredores, linhas de atendimento, redes de dados ou sistemas logísticos. O fluxo máximo revela gargalos; o custo mínimo define distribuição. A análise de corte orienta investimentos e evita ampliar trechos que não aumentam capacidade total.

6.5 Roteirização de entregas

Organizar rotas com capacidade, jornada, janelas, prioridade e restrições viárias. Soluções são integradas a geocodificação e sistemas de transporte. A gestão acompanha quilometragem, ocupação, atraso, reentrega e segurança.

6.6 Programação de equipes

Montar escalas e turnos com cobertura, competências, descanso, preferências e legislação. O objetivo pode minimizar custo, horas extras ou desigualdade. Restrições humanas não devem ser tratadas como detalhes posteriores.

6.7 Sequenciamento de ordens

Definir a ordem de fabricação, exames, atendimentos ou manutenção. Tempos de preparação, prazos e prioridades alteram o critério. O resultado deve ser acompanhado por makespan, atraso, fila e utilização.

6.8 Gestão de estoques

Determinar lotes, frequência e pontos de reposição. Os modelos básicos apoiam políticas por classe de item. Itens críticos exigem segurança e continuidade; itens de baixo valor podem usar regras simplificadas.

6.9 Planejamento de projetos

Mapear precedências, caminho crítico, folgas e alternativas de compressão. O cronograma quantitativo deve ser integrado a riscos, recursos e governança de mudanças.

6.10 Distribuição de orçamento

Alocar recursos entre unidades, campanhas ou programas. Programação por metas permite tratar níveis mínimos e prioridades. A transparência dos pesos facilita negociação e prestação de contas.

6.11 Compras e fornecedores

Selecionar fornecedores, volumes, contratos e contingências. Custos fixos de homologação, capacidade, concentração e risco podem ser modelados. A menor cotação não necessariamente produz o menor custo total.

6.12 Manutenção e substituição

Programar intervenções, equipes e peças. Programação dinâmica pode apoiar decisões de substituir ou manter ativos ao longo do tempo. A função deve considerar indisponibilidade, segurança e vida útil.

6.13 Campanhas e mídia

Selecionar canais e períodos sob orçamento, cobertura e frequência. Variáveis binárias representam pacotes indivisíveis. Metas de alcance podem conviver com limites de exposição e diversidade de público.

6.14 Saúde e redes assistenciais

Localizar serviços, distribuir pacientes, dimensionar estoques e programar salas. O objetivo econômico precisa respeitar segurança, prioridade clínica, acessibilidade e continuidade.

6.15 Educação

Alocar turmas, salas, docentes, bolsas e horários. Restrições incluem capacidade, conflitos, acessibilidade e carga. O modelo pode reduzir choques, mas a decisão precisa considerar qualidade pedagógica.

6.16 Eventos e cultura

Programar espaços, equipamentos, equipes, apresentações e transporte. Modelos ajudam a evitar sobreposição e a usar recursos compartilhados. Critérios de acessibilidade devem ser incorporados desde a formulação.

6.17 Setor público

Planejar transporte, equipamentos, equipes e cobertura de políticas. A recomendação deve registrar critérios, dados e impactos territoriais, permitindo controle social e revisão.

6.18 Sustentabilidade

Minimizar emissões, resíduos ou uso de energia, ou incluir esses fatores em múltiplos objetivos. A fronteira custo-impacto mostra compromissos e evita reduzir sustentabilidade a uma restrição simbólica.

6.19 Transformação digital

Selecionar funcionalidades, ondas de implantação e infraestrutura. Dependências entre sistemas e equipes são representadas por lógica binária e redes de projeto. A solução deve considerar segurança, privacidade e adoção.

6.20 Consultoria e analytics

Construir modelos para diagnóstico e decisão. A atividade inclui entrevistas, definição de escopo, tratamento de dados, prototipação, solução, validação, comunicação e transferência para a equipe cliente.

Ferramentas para implementação

Ferramenta	Uso adequado	Cuidados
Planilha com Solver	Modelos pequenos e protótipos	Organização de células, unidades, fórmulas e limites
LibreOffice Calc	Alternativa de planilha aberta	Compatibilidade de solucionador e documentação
Python com PuLP/Pyomo/OR-Tools	Automação, repetição e integração	Versionamento, testes e ambiente
R ou Julia	Modelagem analítica e pesquisa	Pacotes, desempenho e manutenção
Sistemas corporativos	Planejamento recorrente e dados integrados	Governança, auditoria e exceções
GIS	Localização e roteirização espacial	Qualidade de endereços e rede viária
BI	Comunicação e acompanhamento	Não confundir visualização com otimização

Roteiro profissional de modelagem

· formular a pergunta e identificar a pessoa responsável pela decisão;

· definir horizonte, unidade, população e nível de detalhe;

· mapear alternativas, recursos, políticas e critérios;

· construir dicionário de dados e verificar qualidade;

· criar modelo mínimo e um caso de teste manual;

· resolver, verificar viabilidade e reconciliar resultados;

· comparar com política atual e com cenários;

· discutir impactos, exceções, riscos e implementação;

· documentar versão, premissas, parâmetros e decisão;

· acompanhar resultados e revisar o modelo.

6.21 Laboratórios profissionais de modelagem

Os laboratórios seguintes apresentam problemas maiores do que os exercícios conceituais. Em cada situação, a ênfase está na passagem da demanda organizacional para um modelo auditável, na interpretação da solução e nos cuidados de implementação. Os números são ilustrativos e podem ser substituídos por dados da organização estudada.

Laboratório 1: Escala de atendimento em hospital-dia

Contexto organizacional. Um hospital-dia funciona em três turnos e precisa dimensionar equipes de enfermagem, apoio e recepção. A demanda varia por turno, algumas pessoas possuem competências específicas e as regras de descanso impedem combinações consecutivas.

Pergunta de decisão. Definir quantas equipes e quais profissionais serão alocados a cada turno durante uma semana, minimizando custo e horas extras sem comprometer cobertura clínica.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias x_pt indicam se a pessoa p trabalha no turno t. Restrições asseguram cobertura por competência, carga semanal, descanso, indisponibilidades e limites de horas extras. Variáveis de desvio podem representar preferências, com penalidade inferior à de violações de cobertura.

Dados e preparação. A base precisa conter demanda por perfil, jornada contratual, competências, custos, restrições legais, afastamentos e calendário. A unidade de cada parâmetro deve ser explícita: pessoas, horas ou postos de trabalho não são equivalentes.

Interpretação e cenários. A solução deve ser comparada à escala atual por custo, horas extras, quantidade de trocas, distribuição de finais de semana e cobertura. Se o modelo concentrar turnos difíceis em poucas pessoas, acrescenta-se critério de equidade ou limite individual.

Implementação e governança. A escala não deve ser implantada automaticamente. Chefias e equipes precisam revisar exceções, condições de saúde, acordos e continuidade do cuidado. Mudanças posteriores devem ser registradas para aperfeiçoar o modelo.

Em uma entrega profissional, o caso deve ser acompanhado por tabela de premissas, solução-base, pelo menos dois cenários, lista de restrições ativas, impactos sobre pessoas e processo de revisão. Essa documentação permite que a decisão seja compreendida e atualizada, em vez de depender permanentemente de quem construiu o modelo.

Laboratório 2: Programação de salas e turmas universitárias

Contexto organizacional. Uma universidade precisa distribuir disciplinas por salas, dias e horários. Existem salas acessíveis, laboratórios, turmas compartilhadas, docentes com restrições e estudantes que cursam componentes em sequência.

Pergunta de decisão. Atribuir cada turma a um horário e espaço, reduzindo conflitos, deslocamentos e ociosidade, sem violar capacidade e requisitos pedagógicos.

Estrutura do modelo. Use variáveis binárias x_tsh para indicar turma t na sala s e horário h. Cada turma recebe uma combinação; cada sala abriga no máximo uma turma por horário; capacidades e equipamentos devem ser compatíveis. Conflitos de currículo e docentes são restrições de exclusão.

Dados e preparação. São necessários matrículas previstas, capacidade das salas, acessibilidade, equipamentos, grade curricular, disponibilidade docente e tempo de deslocamento entre campi. Dados históricos ajudam a corrigir previsão de ocupação.

Interpretação e cenários. O objetivo pode ponderar conflitos, mudanças de prédio, horários indesejados e ociosidade. Pesos devem ser discutidos, porque reduzir espaço ocioso não deve sacrificar acessibilidade ou criar jornadas inviáveis.

Implementação e governança. Após a solução, unidades acadêmicas revisam casos especiais. O processo precisa permitir justificativas, mas evitar alterações informais que recriem conflitos em cadeia.

Laboratório 3: Localização de pontos de vacinação

Contexto organizacional. Uma secretaria municipal avalia locais temporários para uma campanha. Há diferenças de população, transporte, acessibilidade, segurança, refrigeração e capacidade diária.

Pergunta de decisão. Escolher os pontos e atribuir áreas de demanda de modo a ampliar cobertura e limitar deslocamento, respeitando orçamento e capacidade.

Estrutura do modelo. Variáveis y_j indicam abertura e x_ij indicam atendimento da área i pelo ponto j. A função pode minimizar custo e distância ponderada. Restrições exigem cobertura, capacidade, quantidade máxima de unidades e presença em territórios prioritários.

Dados e preparação. Utilize população-alvo, rede viária, transporte coletivo, horários, capacidade de equipes, energia, cadeia de frio e custo de instalação. Distância em linha reta deve ser evitada quando barreiras urbanas forem relevantes.

Interpretação e cenários. Compare p-mediana, cobertura máxima e minimização da pior distância. Uma solução de menor média pode deixar uma comunidade muito distante; por isso, médias e máximos devem ser observados conjuntamente.

Implementação e governança. Critérios territoriais devem ser transparentes. A validação precisa envolver vigilância, atenção básica, acessibilidade e representação local.

Laboratório 4: Rede de distribuição de medicamentos

Contexto organizacional. Um consórcio de saúde recebe medicamentos em dois armazéns e abastece unidades municipais. Algumas rotas possuem capacidade, há itens refrigerados e perdas elevadas em transferências emergenciais.

Pergunta de decisão. Determinar fluxos regulares, estoques e rotas de contingência ao menor custo, garantindo nível mínimo de atendimento.

Estrutura do modelo. Um fluxo de custo mínimo representa armazéns, pontos de transbordo e unidades. Itens com cadeia fria podem utilizar rede separada ou arcos permitidos. Estoques mínimos e capacidade entram como restrições.

Dados e preparação. Demanda por item, custo de transporte, capacidade, validade, temperatura, frequência e perdas. Agregar medicamentos demais pode esconder incompatibilidades; uma classificação por requisitos ajuda a equilibrar detalhe e escala.

Interpretação e cenários. A solução-base deve ser submetida a falha de armazém, bloqueio de rota e crescimento de demanda. O custo de contingência é comparado ao risco de desabastecimento.

Implementação e governança. Medicamentos essenciais podem receber prioridade ou restrição rígida. Economia logística não deve reduzir segurança clínica.

Laboratório 5: Seleção anual de projetos de inovação

Contexto organizacional. Uma empresa possui dezenas de propostas, orçamento limitado, equipes especializadas e dependências tecnológicas. Benefícios são estimados por áreas diferentes e podem se sobrepor.

Pergunta de decisão. Selecionar um portfólio equilibrado que maximize valor e respeite capacidade, dependências, risco e metas estratégicas.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias representam projetos. Restrições cobrem orçamento, horas por competência, dependências, incompatibilidades e quantidade por tema. Programação por metas pode exigir presença mínima em segurança, experiência do cliente e redução de custo.

Dados e preparação. Investimento, custo recorrente, benefício incremental, horas, riscos, cronograma e dependências. Benefícios compartilhados devem ser ajustados para não ocorrer dupla contagem.

Interpretação e cenários. Além do valor objetivo, apresente projetos excluídos por restrição, preço implícito dos recursos na relaxação e cenários de orçamento. Uma solução que muda completamente com pequena alteração requer cautela.

Implementação e governança. O modelo organiza o comitê, mas não substitui diligência técnica. Premissas e conflitos de interesse devem ser registrados.

Laboratório 6: Plano de manutenção preventiva

Contexto organizacional. Uma indústria possui equipamentos com janelas de manutenção, equipes limitadas e produção sazonal. Paradas simultâneas podem reduzir capacidade abaixo do necessário.

Pergunta de decisão. Programar intervenções em semanas específicas, equilibrando custo, risco e perda de produção.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias x_et indicam manutenção do equipamento e na semana t. Cada intervenção ocorre uma vez dentro da janela. Restrições limitam equipes, peças, equipamentos simultaneamente parados e capacidade mínima da fábrica.

Dados e preparação. Duração, janela, horas técnicas, peças, criticidade, capacidade perdida, histórico de falhas e calendário de produção. Tempos devem incluir preparação e testes de retorno.

Interpretação e cenários. Compare custo planejado, perda de produção, horas extras e risco residual. Equipamentos críticos podem ter prioridade lexicográfica em programação por metas.

Implementação e governança. A solução precisa ser revisada por manutenção, produção e segurança. Alterações emergenciais devem alimentar a próxima rodada de planejamento.

Laboratório 7: Compra consolidada entre unidades

Contexto organizacional. Diversas unidades compram materiais semelhantes, mas têm espaço, calendário e consumo diferentes. O fornecedor oferece descontos por quantidade e cobra frete por entrega.

Pergunta de decisão. Definir volumes e frequência de compras consolidadas, centros de recebimento e redistribuição.

Estrutura do modelo. Combine lote econômico, faixas de desconto e custos fixos de entrega. Variáveis binárias podem ativar faixas ou fornecedores. Fluxos distribuem materiais entre unidades, respeitando armazenagem e demanda.

Dados e preparação. Consumo, custo de pedido, preços, fretes, capacidade, taxa de manutenção, validade e calendário. O custo de capital deve ser consistente entre unidades.

Interpretação e cenários. O menor preço pode exigir estoque excessivo. Compare custo total, caixa, risco de obsolescência e capacidade. Faça cenário com demanda menor.

Implementação e governança. A economia consolidada precisa ser acompanhada de regra de rateio e responsabilidade por perdas, evitando transferir custo entre unidades.

Laboratório 8: Roteiro de coleta seletiva

Contexto organizacional. Uma cooperativa atende bairros em dias definidos, com veículos de capacidades distintas. Alguns pontos têm janelas de acesso, e materiais não podem permanecer no veículo após o turno.

Pergunta de decisão. Criar rotas diárias e atribuir veículos, minimizando distância e horas, com cobertura completa.

Estrutura do modelo. Use roteirização capacitada com janelas de tempo. Variáveis de arco indicam deslocamentos; restrições garantem visita, conservação, capacidade, início e retorno. Uma formulação de múltiplos depósitos pode representar garagem e estação de triagem.

Dados e preparação. Geocodificação, volumes, tempos de serviço, velocidades por período, restrições viárias e capacidade real. Volumes devem refletir sazonalidade e densidade dos materiais.

Interpretação e cenários. Compare rotas por quilometragem, ocupação, horas, atraso e equilíbrio entre equipes. Heurísticas geram solução inicial e melhoria local reduz cruzamentos.

Implementação e governança. Motoristas e cooperadas(os) devem validar segurança, estacionamento e condições que o mapa não captura.

Laboratório 9: Planejamento de campanha de comunicação

Contexto organizacional. Uma organização dispõe de orçamento para mídia, eventos e produção de conteúdo. Algumas ações são pacotes indivisíveis e outras dependem de peças preparatórias.

Pergunta de decisão. Selecionar o conjunto de ações que maximize alcance qualificado, respeitando orçamento, capacidade e diversidade de canais.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias selecionam pacotes; variáveis inteiras definem inserções. Dependências ligam produção a veiculação. Restrições exigem presença em canais acessíveis e limitam concentração.

Dados e preparação. Custos, alcance incremental, frequência, público, capacidade de produção, prazos e sobreposição. Alcances brutos não podem ser somados como pessoas únicas sem ajuste.

Interpretação e cenários. Apresente cenários por objetivo: alcance, engajamento ou cobertura de segmentos. Uma fronteira mostra o custo de ampliar diversidade de canal.

Implementação e governança. Critérios de representação, acessibilidade e proteção de dados devem ser tratados como requisitos, não apenas como bônus.

Laboratório 10: Dimensionamento de caixas em varejo

Contexto organizacional. Uma rede de lojas possui demanda por faixa horária conhecida a partir do histórico. Cada caixa tem capacidade média e há limite de jornada e intervalos.

Pergunta de decisão. Determinar quantos postos abrir e como montar turnos para garantir capacidade de atendimento a custo controlado.

Estrutura do modelo. Variáveis inteiras definem turnos iniciados em cada horário. Uma matriz de cobertura mostra quais períodos cada turno atende. A soma das capacidades deve superar a demanda planejada em cada faixa.

Dados e preparação. Transações, tempo médio, distribuição por horário, produtividade, pausas e ausências. Médias devem ser ajustadas para dias e campanhas especiais.

Interpretação e cenários. A solução determinística informa capacidade mínima. Filas e variação exigem complemento probabilístico. Ainda assim, o modelo revela horários em que a escala é estruturalmente insuficiente.

Implementação e governança. Metas de custo não devem incentivar supressão de pausas ou sobrecarga. Indicadores de espera e condições de trabalho acompanham a implantação.

Laboratório 11: Sequenciamento de exames em laboratório

Contexto organizacional. Amostras passam por preparação e análise em equipamentos diferentes. Há prioridades clínicas, tempos de limpeza e lotes mínimos.

Pergunta de decisão. Definir sequência e formação de lotes para reduzir prazo e trocas, respeitando urgências e validade.

Estrutura do modelo. Modelos de sequenciamento usam variáveis binárias de precedência e tempos de início. Preparações dependentes da sequência entram na função. Prioridades podem ser restrições de prazo ou penalidades de atraso.

Dados e preparação. Tempos, compatibilidades, limpeza, disponibilidade, prioridade, validade e capacidade de lotes. Registros operacionais ajudam a substituir tempos nominais por valores realistas.

Interpretação e cenários. Compare makespan, atraso ponderado, quantidade de limpezas e utilização. Uma sequência mais curta pode atrasar amostras urgentes; por isso, o critério deve refletir risco clínico.

Implementação e governança. A equipe técnica define prioridades e exceções. O modelo deve permitir interrupções justificadas e rastrear seus efeitos.

Laboratório 12: Alocação de equipes de fiscalização

Contexto organizacional. Um órgão público possui equipes com competências e regiões de atuação. Há demandas programadas, limites de deslocamento e necessidade de cobertura mínima em áreas de maior risco.

Pergunta de decisão. Atribuir equipes e roteiros semanais, maximizando cobertura ponderada e limitando custo de viagem.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias de designação ligam equipes a ações e dias. Restrições de competência, duração, incompatibilidade e jornada são incluídas. Programação por metas pode priorizar áreas críticas.

Dados e preparação. Localização, duração, risco, competências, disponibilidade, custos e regras. A pontuação de risco deve ser documentada e revisada para evitar vieses.

Interpretação e cenários. Avalie cobertura total, cobertura de áreas prioritárias, deslocamento e equilíbrio. Cenários com ausência de equipe testam resiliência.

Implementação e governança. A seleção de alvos deve respeitar critérios legais, transparência e não discriminação. A otimização não pode legitimar uma classificação opaca.

Laboratório 13: Gestão de energia em prédios

Contexto organizacional. Um conjunto de prédios possui equipamentos flexíveis, geração solar e tarifas por horário. Algumas cargas podem ser deslocadas, mas serviços críticos precisam permanecer ativos.

Pergunta de decisão. Programar cargas e armazenamento para reduzir custo e pico, mantendo conforto e continuidade.

Estrutura do modelo. Variáveis contínuas representam energia; binárias representam liga/desliga e partidas. Balanço de energia, capacidade, estado de carga e janelas operacionais são restrições. A função inclui tarifa e demanda máxima.

Dados e preparação. Curvas de consumo, tarifas, geração, capacidade, rendimento, horários e níveis mínimos. Dados em intervalos diferentes precisam ser harmonizados.

Interpretação e cenários. Compare economia, pico, ciclos de bateria e emissões. Uma política barata pode aumentar desgaste; inclua custo de degradação quando relevante.

Implementação e governança. Serviços críticos e condições de conforto são limites obrigatórios. A operação deve ter modo manual e plano para falha de comunicação.

Laboratório 14: Distribuição de bolsas de estudo

Contexto organizacional. Uma instituição possui orçamento para bolsas com valores e durações diferentes. Busca atender critérios acadêmicos, socioeconômicos, territoriais e de acessibilidade.

Pergunta de decisão. Selecionar beneficiárias(os) ou quantidades por categoria, respeitando orçamento e metas de inclusão.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias representam concessões individuais ou variáveis inteiras representam cotas. Restrições cobrem orçamento, elegibilidade e pisos por grupo. Programação por metas trata objetivos concorrentes.

Dados e preparação. Valores, duração, elegibilidade, critérios, disponibilidade e histórico. Dados pessoais exigem proteção e finalidade clara.

Interpretação e cenários. A solução deve ser auditada por distribuição de recursos e pessoas, não apenas por pontuação agregada. Testes verificam se pesos geram efeitos desproporcionais.

Implementação e governança. Critérios precisam ser públicos, contestáveis e revisados. Casos individuais podem exigir análise humana e canal de recurso.

Laboratório 15: Plano de produção com setup e lote mínimo

Contexto organizacional. Uma fábrica produz famílias de itens. Ativar uma família consome tempo de preparação e exige lote mínimo; demanda e capacidade são conhecidas por semana.

Pergunta de decisão. Definir quais famílias produzir, volumes e semanas, minimizando custos de preparação, estoque e atraso.

Estrutura do modelo. Variáveis x_it representam produção e y_it indicam setup. Use lote mínimo L_i y_it ≤ x_it ≤ M_i y_it. Balanço de estoque liga semanas; capacidade inclui produção e setup.

Dados e preparação. Demanda, tempos, custos, capacidade, estoque inicial, lotes e prazos. O valor de M deve derivar de capacidade e demanda acumulada.

Interpretação e cenários. O modelo mostra o compromisso entre produzir lotes maiores antecipadamente e fazer mais preparações. Cenários de capacidade ajudam a avaliar turno extra ou terceirização.

Implementação e governança. A solução precisa ser reconciliada com manutenção, qualidade, materiais e restrições comerciais antes de liberar ordens.

Laboratório 16: Localização de abrigos temporários

Contexto organizacional. Uma defesa civil precisa planejar locais para abrigos em cenário de contingência, considerando capacidade, acesso, risco e grupos com necessidades específicas.

Pergunta de decisão. Selecionar locais e atribuir populações de referência, minimizando deslocamento e garantindo capacidade segura.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias de abertura e fluxos de atribuição. Restrições excluem locais em áreas de risco, asseguram capacidade, cobertura, acessibilidade e redundância territorial.

Dados e preparação. População, rotas, risco, capacidade, acessibilidade, água, energia e equipes. Como o evento real é incerto, o modelo determinístico deve ser executado em múltiplos cenários.

Interpretação e cenários. A solução-base identifica recursos e lacunas. Cenários de bloqueio revelam pontos frágeis e orientam estoques e transporte.

Implementação e governança. Planejamento deve envolver proteção social, saúde, acessibilidade e comunidades. Dados e critérios precisam ser atualizados periodicamente.

Laboratório 17: Programação de oficinas culturais

Contexto organizacional. Um centro cultural oferece oficinas em salas com equipamentos diferentes. Instrutoras(es) têm disponibilidade limitada e algumas atividades precisam de intérprete ou recursos de acessibilidade.

Pergunta de decisão. Montar uma grade que maximize vagas e diversidade, evitando conflitos e respeitando recursos.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias atribuem oficina, sala e horário. Restrições cobrem capacidade, disponibilidade, equipamento, preparação e recursos de acessibilidade. Metas podem distribuir atividades por público e linguagem.

Dados e preparação. Duração, público, sala, equipamentos, equipe, acessibilidade, demanda e custos. O cadastro precisa diferenciar requisito obrigatório de preferência.

Interpretação e cenários. Compare vagas, ocupação, conflitos, distribuição de horários e atendimento de recursos. A melhor ocupação não deve concentrar públicos em horários inadequados.

Implementação e governança. Programadoras(es), equipes de acessibilidade e participantes devem validar a grade. Alterações precisam preservar recursos prometidos.

Laboratório 18: Carteira de contratos com capacidade técnica

Contexto organizacional. Uma empresa de serviços pode aceitar contratos com receitas, custos, prazos e competências diferentes. Alguns contratos exigem certificação e podem ocorrer em conjunto ou serem incompatíveis.

Pergunta de decisão. Selecionar contratos que maximizem margem e posicionamento, respeitando horas por competência e risco de concentração.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias representam aceitação. Restrições por período e competência limitam horas. Dependências e incompatibilidades são lógicas. Uma meta pode limitar participação de um único cliente.

Dados e preparação. Margem incremental, cronograma, horas, probabilidade de atraso, multas, sinergias e custos de contratação. Receitas brutas não devem substituir margem e caixa.

Interpretação e cenários. Apresente capacidade utilizada, contratos excluídos e valor de contratar uma competência adicional. Cenários de atraso testam folga.

Implementação e governança. Comercial e operação precisam validar premissas. O modelo deve evitar incentivo a aceitar contratos sem capacidade de entrega.

Laboratório 19: Plano de migração de sistemas

Contexto organizacional. Uma organização precisa migrar dezenas de aplicações. Existem dependências, janelas, equipes, riscos e datas regulatórias.

Pergunta de decisão. Definir ondas de migração e sequência, minimizando prazo e risco, sem exceder capacidade.

Estrutura do modelo. Variáveis binárias atribuem sistemas a ondas. Dependências impõem precedência; incompatibilidades impedem combinações. Capacidade limita horas por equipe. Programação por metas prioriza marcos regulatórios.

Dados e preparação. Aplicações, dependências, esforço, criticidade, janela, equipe, integração e testes. Mapas incompletos de dependência são um risco central.

Interpretação e cenários. A solução deve ser submetida a falha de uma onda, atraso e indisponibilidade de equipe. Sistemas críticos podem exigir piloto e rollback.

Implementação e governança. Arquitetura, segurança, áreas usuárias e continuidade aprovam cada onda. A otimização apoia o calendário, mas não substitui critérios de prontidão.

Laboratório 20: Distribuição de orçamento entre programas públicos

Contexto organizacional. Um governo local distribui orçamento entre programas com pisos legais, metas físicas e capacidade de execução. Nem todo recurso adicional gera benefício proporcional.

Pergunta de decisão. Alocar recursos para ampliar resultados, respeitando vinculações, limites e prioridades.

Estrutura do modelo. Programação por metas ou modelo por segmentos de benefício representa metas e retornos marginais. Variáveis podem ser contínuas ou inteiras quando o recurso financia unidades indivisíveis.

Dados e preparação. Custo unitário, meta, execução histórica, capacidade, vinculação e indicadores. A qualidade do indicador é tão importante quanto o algoritmo.

Interpretação e cenários. A solução mostra desvios de metas, recursos limitantes e programas com baixa capacidade de absorção. Cenários de receita apoiam contingenciamento.

Implementação e governança. Prioridades são políticas e precisam de deliberação transparente. O modelo deve documentar critérios e permitir controle social.

6.22 Tutorial: implementação em planilha

Uma planilha de otimização deve separar dados, variáveis, cálculos, restrições e resultados. Misturar tudo em uma única área torna difícil revisar fórmulas e atualizar parâmetros. Uma estrutura recomendada contém abas de instruções, dados, modelo, cenários e relatório.

Na aba de dados, cada linha deve informar fonte, unidade e data. Na aba do modelo, células de decisão recebem cor ou estilo próprio; a função objetivo soma produtos entre coeficientes e variáveis; cada restrição possui lado esquerdo calculado, operador e limite. Uma coluna de folga facilita diagnóstico.

No Solver, selecione a célula objetivo, indique maximização ou minimização, informe as células variáveis e adicione restrições. Marque variáveis inteiras ou binárias. Para modelos lineares, escolha método apropriado e mantenha a opção de não negatividade quando fizer sentido. Salve os parâmetros junto ao arquivo.

Antes de resolver a instância completa, teste casos simples: capacidade zero, demanda pequena, orçamento alto, alternativa proibida e solução conhecida. Verifique se o modelo reage como esperado. Depois da solução, confira manualmente somas, limites e relações lógicas.

O relatório da planilha deve apresentar apenas informações necessárias à decisão: alternativa selecionada, custo ou benefício, recursos críticos, folgas, cenários e alertas. Células técnicas podem permanecer em aba separada, mas não devem ser ocultadas de quem audita.

6.23 Tutorial: implementação com Python

Em Python, bibliotecas como PuLP, Pyomo e OR-Tools permitem separar dados e formulação. A prática recomendada é guardar parâmetros em tabelas ou arquivos, criar variáveis com nomes descritivos, gerar restrições em laços e exportar resultados para análise. O código deve incluir verificações e mensagens quando o modelo for inviável.

Um fluxo mínimo contém: carregar dados; validar chaves e unidades; criar modelo; criar variáveis; adicionar objetivo; adicionar restrições; escolher solver; resolver; verificar status; extrair resultados; testar viabilidade; e produzir relatório. A solução não deve ser usada quando o status não indicar condição aceitável.

Testes automatizados podem confirmar que demanda é atendida, capacidade não é ultrapassada, variáveis proibidas permanecem zero e custos são reconciliados. Também é útil manter uma instância pequena cuja solução foi calculada manualmente.

Versionamento de código e dados permite reproduzir decisões. O relatório deve registrar versão, data, parâmetros do solver, limite de tempo e gap. Quando o modelo é parte de um processo recorrente, logs e alertas ajudam a identificar alterações inesperadas.

A escolha entre planilha e código depende de escala, repetição, integração e equipe. Planilhas são acessíveis e úteis para protótipos; código favorece automação e controle. Em ambos os casos, o modelo precisa ser compreensível por mais de uma pessoa.

7. Exemplo Prático ou Estudo de Caso

Caso integrado: Rede Comunitária Horizonte

A Rede Comunitária Horizonte distribui kits de alimentação e higiene a oito territórios por meio de centros logísticos e equipes móveis. O crescimento da demanda elevou custos, atrasos e perdas de estoque. A direção precisa decidir quais centros manter ou ampliar, como distribuir os kits, que rota usar, qual política de reposição adotar e como executar um projeto de digitalização em prazo reduzido.

O caso é fictício e foi desenhado para integrar os principais conteúdos da disciplina. Os valores servem para aprendizagem e devem ser adaptados quando utilizados em situações reais.

7.1 Dados de demanda e instalações

Território	Demanda mensal de kits	Distância ao Centro Norte	Distância ao Centro Sul	Distância ao Centro Oeste
T1	420	12	34	26
T2	380	18	28	30
T3	510	20	24	36
T4	460	31	14	25
T5	350	38	11	22
T6	300	35	19	16
T7	440	28	30	10
T8	390	22	32	14

Centro	Custo fixo mensal	Capacidade mensal	Situação
Norte	R$ 72.000	1.500 kits	Operante; pode receber ampliação de 400
Sul	R$ 68.000	1.400 kits	Operante; restrição de espaço
Oeste	R$ 64.000	1.300 kits	Candidato; precisa ser ativado

A demanda total é 3.250 kits. Norte e Sul juntos possuem 2.900, portanto não atendem a demanda sem ampliação ou abertura do Oeste. A direção não pode simplesmente escolher os dois centros de menor custo fixo; precisa verificar capacidade, distâncias e continuidade.

7.2 Modelo de localização e distribuição

Defina y_N, y_S e y_O como variáveis binárias de operação. Defina a_N como variável binária de ampliação do Norte. Defina x_ij como kits enviados do centro j ao território i. O custo de distribuição por kit é proporcional à distância, com fator de R$ 1,20 por quilômetro.

Min Z = 72.000y_N + 68.000y_S + 64.000y_O + 24.000a_N + 1,20 Σ d_ij x_ij

As restrições de demanda exigem que a soma dos fluxos destinados a cada território seja igual à demanda. A capacidade do Norte é 1.500y_N + 400a_N; a do Sul é 1.400y_S; a do Oeste é 1.300y_O. A ampliação só pode ocorrer se o Norte estiver aberto: a_N ≤ y_N.

A política de continuidade exige ao menos dois centros: y_N + y_S + y_O ≥ 2. A política territorial determina que T7 e T8 sejam atendidos pelo Oeste quando ele estiver aberto, salvo limite de capacidade. Essa regra pode ser modelada por participação mínima ou tratada como cenário, dependendo de seu caráter obrigatório.

7.3 Avaliação de alternativas agregadas

Alternativa	Capacidade	Custo fixo	Viabilidade básica
Norte + Sul	2.900	R$ 140.000	Inviável sem ampliação
Norte ampliado + Sul	3.300	R$ 164.000	Viável com pouca folga
Norte + Oeste	2.800	R$ 136.000	Inviável
Sul + Oeste	2.700	R$ 132.000	Inviável
Norte + Sul + Oeste	4.200	R$ 204.000	Viável e resiliente

A alternativa Norte ampliado + Sul possui menor custo fixo entre as viáveis, mas concentra a rede em dois centros com apenas 50 kits de folga. A alternativa com três centros custa R$ 40.000 a mais por mês e oferece 950 kits de folga, menor distância para T7 e T8 e maior resiliência. A decisão exige comparar o custo adicional com atrasos, risco de interrupção e perspectiva de crescimento.

7.4 Cenários de demanda

Cenário	Demanda total	Norte ampliado + Sul	Três centros
Base	3.250	Viável, folga 50	Viável, folga 950
Crescimento de 8%	3.510	Inviável	Viável, folga 690
Pico de 20%	3.900	Inviável	Viável, folga 300
Falha do Sul	3.250	Inviável	Norte + Oeste somam 2.800; requer contingência

O cenário mostra que três centros não resolvem toda falha, mas suportam crescimento e reduzem dependência. Para falha de um centro, a rede precisa de capacidade contratada temporária, estoques avançados ou parceria emergencial. A solução robusta pode combinar três centros com um contrato de contingência de até 500 kits.

7.5 Política de estoques para kits

A rede compra embalagens padronizadas. A demanda anual é 48.000 embalagens, o custo por pedido é R$ 250 e o custo de manutenção é R$ 5 por unidade-ano.

Q* = √(2 × 48.000 × 250 / 5) = √4.800.000 ≈ 2.191 unidades

O número aproximado de pedidos é 48.000/2.191 = 21,9 por ano. O estoque médio do ciclo é 1.095,5. O custo anual de pedidos é aproximadamente R$ 5.475 e o custo de manutenção também fica próximo desse valor.

O fornecedor oferece desconto de 1,5% para pedidos de 3.000 unidades. A equipe deve calcular o custo total com preço e verificar espaço, validade e caixa. Se o item for barato e não perecível, o desconto pode compensar; se houver risco de mudança do kit, a flexibilidade pode valer mais.

7.6 Ponto de reposição

O consumo médio de embalagens é 160 por dia útil, o prazo de reposição é 7 dias e a política define 400 unidades de proteção para variações operacionais.

PR = 160 × 7 + 400 = 1.520 unidades

O pedido deve ser acionado quando a posição de estoque, e não apenas o saldo físico, atingir 1.520. Pedidos em trânsito e reservas para montagem precisam entrar no cálculo.

7.7 Rede de transporte entre centros

Para transferências emergenciais, as capacidades mensais são: Norte–Sul 300, Norte–Oeste 450 e Sul–Oeste 250 kits. Como as ligações são bidirecionais, a equipe representa dois arcos direcionados ou utiliza modelo adequado à rede não direcionada.

Se o Sul perde 400 kits de capacidade temporariamente, o Norte pode transferir até 300 diretamente e o Oeste pode transferir até 250. Entretanto, o volume disponível em cada origem depende de sua própria capacidade e demanda. A soma de arcos não garante que haja estoque para utilizá-los.

7.8 Projeto de digitalização

Atividade	Descrição	Duração	Predecessoras
A	Mapear processos	4 dias	—
B	Selecionar plataforma	5 dias	A
C	Padronizar cadastros	7 dias	A
D	Configurar sistema	8 dias	B
E	Limpar e migrar dados	6 dias	C
F	Integrar logística	5 dias	D e E
G	Treinar equipes	4 dias	F
H	Operação assistida	3 dias	G

O caminho A–B–D–F–G–H dura 29 dias. O caminho A–C–E–F–G–H também dura 29 dias. Existem dois caminhos críticos. Para reduzir o projeto em um dia, é necessário encurtar atividade comum aos dois caminhos ou reduzir uma atividade em cada caminho.

A atividade F pode ser reduzida de cinco para quatro dias por R$ 4.000. Como é comum aos dois caminhos, essa é a primeira alternativa. Para reduzir mais um dia, G custa R$ 5.000 por dia; B e C custam R$ 2.000 e R$ 2.500, mas seria necessário reduzir ambas para afetar os dois caminhos. A escolha entre G e B+C é R$ 5.000 em ambos os casos, exigindo avaliação de risco e limite de compressão.

7.9 Programação por metas

A direção define três metas: cobertura de 100% da demanda como prioridade máxima; custo logístico mensal até R$ 260 mil como segunda prioridade; distância média até 22 quilômetros como terceira. A programação por metas introduz desvios e minimiza primeiro qualquer falta de cobertura. Depois, busca reduzir excesso de custo e distância.

A estrutura impede que uma pequena economia justifique deixar territórios sem atendimento. Se todas as alternativas viáveis ultrapassarem o custo-alvo, o modelo informa o menor desvio possível e ajuda a negociar orçamento ou rever restrições.

7.10 Recomendação executiva

A recomendação é operar três centros durante a fase de crescimento, distribuir territórios por custo e capacidade, manter contrato de contingência para 500 kits mensais, implantar a política de lote com revisão trimestral e executar a digitalização em 28 dias mediante compressão da atividade F. A decisão deve ser reavaliada quando houver dados reais de utilização e demanda.

A alternativa de apenas Norte ampliado e Sul pode ser mantida como cenário de redução de custos se a demanda cair e houver contingência externa confiável. Não deve ser tratada como equivalente em resiliência. O relatório precisa mostrar o custo da capacidade adicional e os riscos evitados.

7.11 Indicadores de acompanhamento

Indicador	Fórmula ou medida	Finalidade
Cobertura	kits entregues / demanda	Verificar atendimento
Custo por kit	custo logístico / kits entregues	Controlar despesa
Distância média ponderada	Σ distância × kits / total	Avaliar acesso e transporte
Utilização de capacidade	fluxo / capacidade	Identificar saturação
Ruptura de embalagem	dias ou pedidos com falta	Monitorar estoque
Aderência ao lote	pedidos próximos da política	Verificar execução
Prazo do projeto	dias realizados versus linha de base	Controlar implantação
Exceções ao modelo	quantidade e causa	Aprender e revisar regras

7.12 Lições do caso

· a alternativa de menor custo fixo pode ser inviável ou frágil;

· decisões de localização e fluxo precisam ser avaliadas em conjunto;

· cenários revelam valor de capacidade e contingência;

· modelos de estoque exigem dados coerentes e revisão de premissas;

· dois caminhos críticos mudam a lógica da compressão;

· metas prioritárias tornam explícito o que não pode ser sacrificado;

· o modelo deve ser acompanhado por indicadores e revisão.

8. Questões para Estudo

Questão 1 — Programação binária

Uma organização avalia três projetos. A custa R$ 200 mil e gera benefício de R$ 310 mil; B custa R$ 260 mil e gera R$ 390 mil; C custa R$ 180 mil e gera R$ 250 mil. O orçamento é R$ 440 mil. C só pode ser selecionado se A também for. A e B não podem ocorrer simultaneamente. Formule o modelo e indique a melhor combinação.

Questão 2 — Rede e gargalo

Uma rede possui capacidades S–A = 8, S–B = 7, A–T = 5, A–B = 3 e B–T = 9. Calcule o fluxo máximo e explique qual expansão de capacidade deveria ser investigada antes de qualquer investimento.

Questão 3 — Estoque

Uma empresa consome 18.000 unidades por ano, paga R$ 150 por pedido e possui custo de manutenção de R$ 4,50 por unidade-ano. Calcule o lote econômico, o número de pedidos e o estoque médio. Depois, explique duas limitações da recomendação.

Questão 4 — Projeto

Um projeto possui A = 2 dias; B = 5 após A; C = 4 após A; D = 3 após B; E = 4 após B e C; F = 2 após D e E. Determine duração, caminho crítico e efeito de reduzir C em um dia.

Questão 5 — Decisão gerencial integrada

Uma rede de serviços pode abrir duas ou três unidades. Duas custam R$ 180 mil por mês e atendem a demanda atual com 3% de folga. Três custam R$ 225 mil, oferecem 28% de folga e reduzem a maior distância de 55 para 32 minutos. A demanda pode crescer 12% no próximo ano. Apresente uma recomendação fundamentada, indicando quais análises adicionais realizaria.

Gabarito comentado

Questão 1

Defina y_A, y_B e y_C binárias. Maximize 310y_A + 390y_B + 250y_C, sujeito a 200y_A + 260y_B + 180y_C ≤ 440; y_C ≤ y_A; y_A + y_B ≤ 1. As combinações viáveis relevantes são A, B, A+C e C não pode ocorrer sozinho. A+C custa 380 e gera 560, sendo a melhor. B gera 390. A solução seleciona A e C.

Questão 2

A capacidade de saída da origem é 15 e a de entrada no destino é 14. A pode enviar 5 diretamente e até 3 para B; B recebe 7 da origem e pode receber 3 de A. Um fluxo de 14 é viável: 5 por A–T e 9 por B–T. Portanto, o fluxo máximo é 14. Antes de investir, deve-se analisar o corte de entrada no destino, A–T + B–T = 14. Expandir S–A isoladamente não ajuda enquanto a entrada em T permanecer limitada.

Questão 3

Q* = √(2 × 18.000 × 150 / 4,50) = √1.200.000 ≈ 1.095 unidades. Pedidos por ano ≈ 16,44 e estoque médio ≈ 547,5. Limitações possíveis: demanda e prazo tratados como conhecidos; reposição instantânea; ausência de desconto; capacidade de armazenagem; perecibilidade; restrição de caixa; nível de serviço.

Questão 4

A termina no dia 2. B termina 7 e C termina 6. D termina 10. E começa no máximo entre 7 e 6, terminando 11. F começa no máximo entre 10 e 11, terminando 13. O caminho crítico é A–B–E–F, com 13 dias. Reduzir C em um dia não altera a duração, pois C já termina antes de B e não controla o início de E.

Questão 5

A configuração com duas unidades não suporta crescimento de 12%, pois a folga é apenas 3%. A alternativa de três unidades oferece capacidade e melhora acesso, por custo adicional de R$ 45 mil mensais. A recomendação tende a favorecer três unidades se o crescimento for plausível e a redução de distância tiver valor operacional e social. Antes da decisão, devem ser analisados cenários de demanda, custo de expansão posterior, capacidade por unidade, qualidade, contingência, distribuição territorial, possibilidade de unidade temporária e custo de ociosidade.

9. Resumo e Glossário

Resumo da disciplina

Métodos Determinísticos II amplia a modelagem gerencial para decisões inteiras, binárias, em rede, sequenciais e não lineares. A disciplina ensina que a solução implementável precisa ser formulada como tal, em vez de ser obtida por arredondamento posterior. Variáveis binárias representam abertura, seleção, dependência e incompatibilidade; branch-and-bound organiza a busca; lacunas informam proximidade da melhor solução.

Modelos de rede respondem perguntas diferentes: caminho mínimo escolhe trajeto; árvore mínima conecta pontos; fluxo máximo mede capacidade; fluxo de custo mínimo distribui volumes. Redes de projeto identificam atividades críticas e orientam compressão. Modelos de estoques equilibram pedidos e manutenção. Sequenciamento, localização e roteirização organizam recursos, território e movimento.

Programação por metas explicita objetivos concorrentes, programação dinâmica trata decisões em etapas e otimização não linear representa relações não proporcionais. Em todos os casos, a qualidade depende de dados, unidades, validação, cenários, ética e acompanhamento. O software resolve a formulação; não define sozinho o problema nem a decisão.

Glossário

Termo	Definição
Variável inteira	Variável restrita a valores inteiros.
Variável binária	Variável que assume 0 ou 1, representando decisão lógica.
Programação inteira mista	Modelo com variáveis contínuas e inteiras.
Relaxação linear	Modelo obtido ao retirar temporariamente integralidade.
Branch-and-bound	Algoritmo que divide, limita e poda subproblemas.
Incumbente	Melhor solução inteira viável encontrada.
Gap	Distância relativa entre incumbente e melhor limite.
Grande M	Constante usada para ativar ou desativar relações.
Nó	Ponto de uma rede.
Arco	Conexão entre nós.
Caminho mínimo	Trajeto de menor peso entre origem e destino.
Árvore geradora mínima	Conjunto mínimo de arcos que conecta todos os nós sem ciclos.
Fluxo máximo	Maior volume possível em uma rede capacitada.
Corte mínimo	Conjunto de arcos cuja capacidade limita o fluxo máximo.
Transbordo	Nó intermediário que recebe e reenvia fluxo.
Caminho crítico	Sequência que determina a duração do projeto.
Folga	Atraso permitido sem afetar determinado marco.
Crashing	Redução de prazo mediante custo adicional.
Lote econômico	Quantidade que equilibra custos de pedido e manutenção.
Ponto de reposição	Nível de posição de estoque que aciona pedido.
Programação por metas	Modelo que minimiza desvios de metas.
Programação dinâmica	Método para decisões em estágios e estados.
Ótimo local	Melhor solução em uma vizinhança.
Ótimo global	Melhor solução de todo o domínio viável.
Makespan	Tempo total para concluir um conjunto de tarefas.
Cobertura	Condição de atendimento dentro de limite definido.
Subciclo	Ciclo desconectado indesejado em roteirização.
Heurística	Procedimento que busca boa solução sem prova de otimalidade.
Robustez	Capacidade da solução de permanecer adequada sob variações.

Mapa de fórmulas

Ligação binária: 0 ≤ x ≤ My

Lacuna relativa: gap = |limite − incumbente| / |incumbente|

EOQ: Q* = √(2DS/H)

EPQ: Q* = √[2DS/H(1 − d/p)]

Ponto de reposição: PR = dL + ES

Custo total de estoque: CT = DC + (D/Q)S + (Q/2)H

CPM: EF = ES + t; LS = LF − t; folga = LS − ES

Custo de compressão: (C_a − C_n)/(T_n − T_a)

Programação por metas: Min Σw_k(d_k⁻ + d_k⁺)

Programação dinâmica: F_t(s) = melhor_a {r_t(s,a) + F_{t+1}(s′)}

10. Referências e Aprofundamento

Bibliografia básica sugerida

· HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional.

· TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional.

· WINSTON, Wayne L. Operations Research: Applications and Algorithms.

· ARENALES, Marcos et al. Pesquisa Operacional.

· ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional.

· CORRAR, Luiz J.; THEÓPHILO, Carlos Renato. Pesquisa Operacional para Decisão em Contabilidade e Administração.

· LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões.

· GOLDBARG, Marco César; LUNA, Henrique Pacca. Otimização Combinatória e Programação Linear.

· BALLOU, Ronald H. Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos/Logística Empresarial.

· MARTINS, Petrônio G.; LAUGENI, Fernando P. Administração da Produção.

Tópicos para aprofundamento

· programação inteira avançada, cortes e formulações fortes;

· otimização combinatória e complexidade computacional;

· roteirização com janelas de tempo e múltiplos depósitos;

· localização robusta e redes resilientes;

· programação de recursos em projetos;

· otimização estocástica e robusta;

· metaheurísticas, algoritmos genéticos e busca tabu;

· otimização multiobjetivo e apoio multicritério;

· programação não linear convexa;

· uso de Python, OR-Tools, PuLP, Pyomo e solucionadores comerciais;

· integração entre otimização, aprendizado de máquina e sistemas corporativos;

· auditoria, explicabilidade e governança de algoritmos.

Plano de estudo de oito semanas

Semana	Foco	Entrega
1	Inteiros, binários e lógica	Cinco formulações
2	Branch-and-bound e solucionadores	Modelo inteiro documentado
3	Caminho, árvore e fluxo	Análise de rede
4	Projetos e sequenciamento	Cronograma crítico
5	Estoques determinísticos	Política calculada
6	Localização e roteirização	Plano territorial
7	Metas, dinâmica e não linear	Exercícios comparativos
8	Caso integrado	Relatório executivo

Como aprofundar com qualidade

Aprofundar não significa apenas resolver modelos maiores. Significa compreender formulações alternativas, testar limites, comparar políticas, analisar cenários e explicar por que uma recomendação é adequada. Comece com casos pequenos verificáveis e aumente a escala gradualmente.

Ao usar software, registre versão, solver, tolerância, tempo, gap, fontes e data dos dados. Salve uma instância de teste com resposta conhecida. Quando o modelo for atualizado, execute novamente os testes. Essa disciplina aproxima otimização de boas práticas de gestão de processos e sistemas.

Perguntas para estudos futuros

· Como incorporar demanda incerta sem perder transparência?

· Quando uma solução aproximada é suficiente para a decisão?

· Como medir e limitar desigualdades territoriais em localização?

· Qual é o valor econômico da redundância em redes?

· Como combinar preferências humanas com escalas otimizadas?

· Como explicar uma recomendação inteira para pessoas não técnicas?

· Quais dados são realmente necessários e quais apenas aumentam complexidade?

· Como monitorar desvio entre plano e execução?

· Como revisar modelos quando políticas e prioridades mudam?

· Que decisões não devem ser automatizadas, mesmo quando podem ser modeladas?

Encerramento

Métodos Determinísticos II mostra que problemas complexos podem ser organizados sem reduzir a gestão a uma fórmula. A modelagem revela escolhas, dependências, gargalos e compromissos. Ela permite comparar alternativas com disciplina e comunicar consequências com clareza.

O domínio da disciplina surge quando a pessoa estudante consegue transitar entre três linguagens: a linguagem do problema real, a linguagem matemática e a linguagem da decisão. Saber formular, resolver e retornar ao contexto é mais importante do que acumular algoritmos. A melhor solução é aquela que, além de consistente, pode ser compreendida, implementada, acompanhada e revista com responsabilidade.

Para utilizar este guia de maneira progressiva, recomenda-se começar pelos conceitos e refazer os exemplos sem consultar os resultados. Depois, escolha um laboratório próximo de sua área de interesse, monte a formulação em papel e somente então utilize uma ferramenta. Compare a solução com uma regra intuitiva e explique por que os resultados diferem. Esse exercício desenvolve compreensão e evita dependência do solucionador.

Em atividades em grupo, uma pessoa pode assumir a validação dos dados, outra a formulação, outra a solução e outra a interpretação. Ao final, as funções devem ser trocadas para que todas as pessoas compreendam o processo completo. A apresentação deve incluir premissas, cenário alternativo e limite do modelo. Esse formato aproxima a disciplina da prática organizacional e mostra que uma decisão quantitativa de qualidade é resultado de colaboração, documentação e responsabilidade compartilhada.